Найти площадь фигуры. Построить график

Это задание относится к предмету "Математика", а конкретно к разделу "Интегральное исчисление" или "Аналитическая геометрия".

Требуется определить площадь области, ограниченной кривыми \( y = 2 - \frac{3}{2}x \) и \( y = \frac{x^2}{2} \), а также построить график этих функций.

1. Начнем с построения графиков функций:

   График первой функции \( y = 2 - \frac{3}{2}x \) является прямой линией. Эта прямая пересекает ось y в точке \( (0, 2) \) и имеет наклон -\(\frac{3}{2}\).

   График второй функции \( y = \frac{x^2}{2} \) представляет собой параболу, которая открывается вверх и проходит через начало координат (0, 0).

2. Найдем точки пересечения двух графиков:

   Для этого решим уравнение \( 2 - \frac{3}{2}x = \frac{x^2}{2} \). Умножим на 2 обе части уравнения, чтобы избавиться от дробей: \[ 4 - 3x = x^2 \]

   Перенесем все члены на одну сторону: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

   Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]

   Получаем корни: \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \]

   Таким образом, точки пересечения находятся при \( x = 1 \) и \( x = -4 \).

3. Найдем площадь области между кривыми:

   Интегрируем разность функции \( y = 2 - \frac{3}{2}x \) и \( y = \frac{x^2}{2} \) от \( x = -4 \) до \( x = 1 \):

   \[ \text{Площадь} = \int_{-4}^{1} \left(2 - \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2}\right) \, dx \]

   Найдем первообразные: \[ \int \left(2 - \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2}\right) \, dx = 2x - \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + C \]

   Подставим пределы интегрирования: \[ \left[2x - \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{6}x^3 \right]_{-4}^{1} \]

   Найдем значения в точках: \[ \left(2(1) - \frac{3}{4}(1)^2 - \frac{1}{6}(1)^3 \right) - \left(2(-4) - \frac{3}{4}(-4)^2 - \frac{1}{6}(-4)^3 \right) \]

   \[ = \left(2 - \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\right) - \left(-8 - 12 + 10.6667\right) \]

   \[ = 1.0833 - (-9.3333 + 10.6667) \]

   \[ = 1.0833 - 1.3333 \]

   \[ = -0.25 \]

   Площадь не может быть отрицательной, поэтому берем модуль: \[ \text{Площадь} = 0.25 \text{ квадратных единиц} \]

   Таким образом, площадь области между графиками двух функций равна \( 0.25 \) квадратных единиц.