Найти площадь фигуры, ограниченную параболой

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^2 - 6x + 7 и прямой y = -x + 7.

1. Найдем точки пересечения

Приравняем уравнения функций:
x^2 - 6x + 7 = -x + 7

Перенесем все в одну сторону:
x^2 - 6x + 7 + x - 7 = 0
x^2 - 5x = 0

Разложим на множители:
x(x - 5) = 0

Отсюда x = 0 или x = 5.

Подставим в любое уравнение, например, y = -x + 7:

• При x = 0: y = -0 + 7 = 7.
• При x = 5: y = -5 + 7 = 2.

2. Вычислим площадь

Площадь между кривыми находится по формуле:
S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx,
где f(x) — верхняя функция, g(x) — нижняя.

Так как y = -x + 7 лежит выше y = x^2 - 6x + 7 на промежутке [0,5], запишем:
S = \int_0^5 \left[(-x + 7) - (x^2 - 6x + 7)\right] dx.

Упростим подынтегральное выражение:
-x + 7 - x^2 + 6x - 7 = -x^2 + 5x.

3. Вычислим интеграл

\int (-x^2 + 5x) dx = \int -x^2 dx + \int 5x dx.

Вычислим отдельно:
\int -x^2 dx = -\frac{x^3}{3},
\int 5x dx = \frac{5x^2}{2}.

Подставим пределы интегрирования:
S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \right]_{0}^{5}.

Вычислим значения:
При x = 5:
-\frac{5^3}{3} + \frac{5 \cdot 5^2}{2} = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2}.

Приведем к общему знаменателю (6):
-\frac{250}{6} + \frac{375}{6} = \frac{125}{6}.

При x = 0:
-\frac{0^3}{3} + \frac{5 \cdot 0^2}{2} = 0.

Итак,
S = \frac{125}{6}.

Ответ:

Площадь ограниченной фигуры равна \frac{125}{6}.