Найти площадь фигуры ограниченная линиями x=1, x=3 и y=x²-3x+3

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 - 3x + 3 и вертикальными прямыми x = 1 и x = 3.

Площадь такой фигуры вычисляется как определенный интеграл функции y = f(x) на заданном отрезке:

 S = \int\limits_{1}^{3} (x^2 - 3x + 3) \,dx 

Вычислим этот интеграл:

1. Найдем первообразную функции f(x) = x^2 - 3x + 3:

 \int (x^2 - 3x + 3) \,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 3x + C 

2. Вычислим значения первообразной в пределах от x = 1 до x = 3:

 F(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3(3^2)}{2} + 3(3) = \frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 9 = 9 - 13.5 + 9 = 4.5 

 F(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{3(1^2)}{2} + 3(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 3 = \frac{1}{3} - 1.5 + 3 = \frac{10}{3} 

3. Найдем разность F(3) - F(1):

 S = 4.5 - \frac{10}{3} = \frac{27}{6} - \frac{20}{6} = \frac{7}{6} 

Ответ:
Площадь фигуры равна \frac{7}{6} квадратных единиц.