Найти площадь части поверхности конуса, вырезаемой цилиндром

Предмет и раздел:

Предмет: Математика Раздел: Дифференциальная геометрия, интегральная геометрия поверхности.

Формулировка задачи:

Задано найти площадь части поверхности конуса, вырезаемой цилиндром. Поверхность конуса описывается уравнением: z^2 - 2(x^2 + y^2) = 0 или, что эквивалентно, z = \sqrt{2(x^2 + y^2)}. Цилиндр задан уравнением: x^2 + y^2 = 2x.

План решения:

1. Записать уравнение поверхности. Нам дано уравнение конуса в пространстве. Перепишем его в удобной форме и проанализируем, какая часть конуса нас интересует: z^2 = 2(x^2 + y^2), \quad z = \sqrt{2(x^2 + y^2)}. Это уравнение описывает верхнюю часть конуса (при z \geq 0).
2. Записать уравнение цилиндра. Цилиндр задан уравнением: x^2 + y^2 = 2x. Сначала переделаем это уравнение в полярных координатах для удобства дальнейших вычислений.
3. Перейти к полярным координатам. Чтобы работать более эффективно, перейдем от декартовой системы к полярной, используя преобразования: x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. Теперь перепишем уравнения конуса и цилиндра в этих координатах:
   • Уравнение цилиндра: r^2 = 2r \cos \theta, или r = 2 \cos \theta.
   • Уравнение конуса: z = \sqrt{2 r^2} = r \sqrt{2}.
4. Найти площадь вырезанной части конуса. Для этого будем использовать параметризацию поверхности и интегрирование по площади.

Решение:

1. Область, вырезаемая цилиндром: Цилиндр вырезает часть конуса, когда радиус r = 2 \cos \theta. Значит, радиус варьируется от нуля до r = 2 \cos \theta.
2. Параметризация поверхности конуса: Введем параметризацию поверхности конуса с использованием полярных координат: x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = r \sqrt{2}.
3. Выражение для площади поверхности: Площадь конуса можно найти с помощью стандартной формулы для площади поверхности в пространстве через параметризацию: S = \int \int_\Omega \sqrt{EG - F^2} \, dA, где E, F, G — коэффициенты первой фундаментальной формы поверхности. Найдем частные производные параметризации: \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = \left( \cos \theta, \sin \theta, \sqrt{2} \right), \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -r \sin \theta, r \cos \theta, 0 \right).
4. Область интегрирования: Область интегрирования задается условиями для r и \theta:
   • r меняется от 0 до 2 \cos \theta,
   • \theta меняется от -\frac{\pi}{2} до \frac{\pi}{2}, так как цилиндр имеет симметрию относительно оси x.
5. Интеграл для плoshади povерxности: Теперь можем записать площадь: S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2 \cos \theta} \sqrt{3} r \, dr \, d\theta. Вычисляем интеграл по r: \int_0^{2 \cos \theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{2 \cos \theta} = 2 (\cos^2 \theta). Теперь вычисляем общий интеграл: S = \sqrt{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta \, d\theta.
6. Рeshение oставwегося интеgrала: Можно воспользоваться стандартной формулой для интеграла от \cos^2 \theta: \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{2}. Тогда площадь будет равна: S = \pi \sqrt{3}.

Ответ:

Площадь части поверхности конуса, которую вырезает цилиндр, равна: S = \pi \sqrt{3}.