Найти определённый интеграл методом интегрирования по частям

Предмет: Математика, раздел математического анализа. Тема: Интегралы, интегрирование по частям.

Задание:

Найти определённый интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) \, dx\) методом интегрирования по частям.

Решение:

Формула интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

1. Сделаем выбор \(u\) и \(dv\):
   • Пусть \(u = x\), тогда его производная \(du = dx\).
   • Тогда \(dv = \sin(2x) dx\), а значит \(v = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)\) (здесь мы использовали правило интегрирования функции \(\sin(kx)\)).
2. Запишем интеграл по формуле:

   \[ \int x \sin(2x) dx = uv - \int v \, du, \]

   где \(u = x\), \(v = -\frac{1}{2} \cos(2x)\), и \(du = dx\). Подставляем:

   \[ \int x \sin(2x) dx = x \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos(2x) \right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) dx. \]

   Упростим:

   \[ \int x \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx. \]

3. Найдем \(\int \cos(2x) dx\):

   \[ \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \sin(2x), \]

   так как интеграл от \(\cos(kx)\) равен \(\frac{1}{k} \sin(kx)\). Подставим это значение:

   \[ \int x \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2x). \]

   Упростим:

   \[ \int x \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x). \]

4. Посчитаем определённый интеграл:

   \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) dx = \left[ -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}. \]

   • Подставим верхний предел (\(x = \frac{\pi}{2}\)):

   \[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{4} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right). \]

   \[ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cos(\pi) + \frac{1}{4} \sin(\pi). \]

   \[ \cos(\pi) = -1, \; \sin(\pi) = 0. \]

   \[ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{\pi}{4}. \]

   • Подставим нижний предел (\(x = 0\)):

   \[ -\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot \cos(2 \cdot 0) + \frac{1}{4} \sin(2 \cdot 0). \]

   \[ = 0 + 0 = 0. \]

5. Вычтем значения:

   \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}. \]

Ответ:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(2x) dx = \frac{\pi}{4}. \]