Найти определённый интеграл

Определение предмета и раздела предмета

Это задание относится к математике и, более конкретно, к разделу математического анализа, где рассматриваются интегралы.

Постановка задачи

Необходимо найти определённый интеграл:

\[\int_{-1}^{3} \left(2 - |5 - 4x|\right) dx\]

Где пределы интегрирования \(a = -1\) и \(b = 3\), а подынтегральная функция:

\[f(x) = 2 - |5 - 4x|\]

Шаг 1: Анализ подынтегральной функции

Первоначально разберём функцию \(f(x) = 2 - |5 - 4x|\), которая включает в себя модуль:

\[|5 - 4x| = \begin{cases} 5 - 4x, & \text{если}\ 5 - 4x \geq 0,\\ -(5 - 4x) = 4x - 5, & \text{если}\ 5 - 4x < 0. \end{cases}\]

Необходимо найти точки, где выражение \(5 - 4x = 0\), чтобы определить, где меняется знак под знаком модуля:

\[5 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4}.\]

Таким образом, функция меняет своё поведение при \(x = \frac{5}{4} = 1.25\):

• Для \(x \leq 1.25\), \(f(x) = 2 - (5 - 4x) = -3 + 4x\).
• Для \(x > 1.25\), \(f(x) = 2 - (4x - 5) = 7 - 4x\).

Теперь подынтегральная функция на интервале от \(-1\) до \(3\) имеет вид:

1. На промежутке \([-1, 1.25]\), \(f(x) = -3 + 4x\).
2. На промежутке \([1.25, 3]\), \(f(x) = 7 - 4x\).

Разбиваем интеграл на два участка

Теперь мы можем записать интеграл как сумму двух интегралов:

\[\int_{-1}^{3} \left(2 - |5 - 4x|\right) dx = \int_{-1}^{1.25} (-3 + 4x)\, dx + \int_{1.25}^{3} (7 - 4x)\, dx\]

Шаг 2: Вычисление интегралов

1) Интеграл на \([-1, 1.25]\):

\[\int_{-1}^{1.25} (-3 + 4x)\, dx\]

Рассчитаем отдельно интегралы от \(-3\) и \(4x\):

\[\int (-3)\, dx = -3x, \quad \int 4x\, dx = 2x^2\]

Теперь подставляем пределы интегрирования \(-1\) и \(1.25\):

\[\left[-3x + 2x^2 \right]_{-1}^{1.25} = \left(-3(1.25) + 2(1.25^2)\right) - \left(-3(-1) + 2(-1^2)\right)\]

Рассчитаем значения:

Для \(x = 1.25\):

\[-3(1.25) + 2(1.25^2) = -3.75 + 2(1.5625) = -3.75 + 3.125 = -0.625.\]

Для \(x = -1\):

\[-3(-1) + 2(1) = 3 + 2 = 5.\]

Теперь находим разность:

\[-0.625 - 5 = -5.625.\]

2) Интеграл на \([1.25, 3]\):

\[\int_{1.25}^{3} (7 - 4x)\, dx\]

Рассчитаем отдельно интегралы от \(7\) и \(-4x\):

\[\int 7\, dx = 7x, \quad \int (-4x)\, dx = -2x^2\]

Теперь подставляем пределы интегрирования \(1.25\) и \(3\):

\[\left[7x - 2x^2 \right]_{1.25}^{3} = \left(7(3) - 2(3^2)\right) - \left(7(1.25) - 2(1.25^2)\right)\]

Рассчитаем значения:

Для \(x = 3\):

\[7(3) - 2(3^2) = 21 - 2(9) = 21 - 18 = 3.\]

Для \(x = 1.25\):

\[7(1.25) - 2(1.25^2) = 8.75 - 2(1.5625) = 8.75 - 3.125 = 5.625.\]

Теперь находим разность:

\[3 - 5.625 = -2.625.\]

Шаг 3: Суммируем результаты двух интегралов

Теперь суммируем результаты:

\[-5.625 + (-2.625) = -8.25.\]

Ответ: Значение интеграла:

\[\int_{-1}^{3} \left(2 - |5 - 4x|\right) dx = -8.25.\]

Шаг 4: Проверка графически

Подынтегральная функция \(f(x) = 2 - |5 - 4x|\) представляет собой кусочно-линейную функцию, которая на интервалах меняет свою форму:

• на интервале \([-1, 1.25]\) это возрастающая прямая,
• на интервале \([1.25, 3]\) это убывающая прямая.

Интеграл можно также интерпретировать геометрически как площадь комбинации треугольников и трапеций под графиком функции. Графически значение совпадает с рассчитанным интегралом -8.25, что соответствует отрицательной площади, так как большая часть графика находится ниже оси x.