Найти определенный интеграл методом подстановки

Условие:

Решение:

На изображении вы хотите найти определенный интеграл следующего выражения: \[ \pi \int_0^1 e^{4-2x} \, dx \] Для интегрирования функции \( e^{4-2x} \) в пределах от 0 до 1, воспользуемся подстановкой \( u = 4 - 2x \), откуда \( du = -2 \, dx \). Таким образом, \( dx = -\frac{1}{2} \, du \). Когда \( x = 0 \), \( u = 4 \), а когда \( x = 1 \), \( u = 2 \). Значит, пределы изменений для \( u \) будут от 4 до 2. Следует заметить, что пределы интегрирования меняются на противоположные, так как подстановка вводит отрицательный множитель: \[ \pi \int_0^1 e^{4-2x} \, dx = \pi \int_4^2 e^u \left(-\frac{1}{2} \right) \, du \] Теперь, инвертируем пределы интегрирования и меняем знак: \[ = \pi \left(-\frac{1}{2}\right) \int_2^4 e^u \, du \] Вычислим интеграл: \[ = -\frac{\pi}{2} \left[ e^u \right]_{2}^{4} \] \[ = -\frac{\pi}{2} \left( e^4 - e^2 \right) \] \[ = \frac{\pi}{2} \left( e^2 - e^4 \right) \] Итак, результат интегрирования: \[ \pi \int_0^1 e^{4-2x} \, dx = \frac{\pi}{2} \left( e^2 - e^4 \right) \]