Найти определенный интеграл

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегральное исчисление

Задание: Найти определенный интеграл \(\int \sqrt{\cos(32x)} \cdot \sin(2x) \, dx\).

Решение: Мы будем использовать подстановку для упрощения данного интеграла.

1. Пометим \(u = \cos(32x)\).
2. Для дифференциала: \(du = -32 \sin(32x) \, dx\).

Итак, чтобы нам это использовать, нужно переписать синус и косинус. Мы знаем, что: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \]

Тогда мы переписываем интеграл в следующем виде: \[ \int \sqrt{\cos(32x)} \cdot \sin(2x) \, dx = \int \sqrt{u} \cdot (-\frac{1}{16} \cdot du) \]

Теперь мы можем выразить все через \(u\): \[ \int \sqrt{u} \cdot (-\frac{1}{16}) \, du \]

Что упрощается до: \[ -\frac{1}{16} \int \sqrt{u} \, du \]

Теперь найдём интеграл от \( \sqrt{u} \): Находим неопределенный интеграл: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} \]

Мы получили: \[ -\frac{1}{16} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = -\frac{1}{24} u^{3/2} \]

Теперь заменим \(u\) обратно на \( \cos(32x) \): \[ -\frac{1}{24} (\cos(32x))^{3/2} + C \]

Итак, ответ: \[ \int \sqrt{\cos(32x)} \cdot \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{24} (\cos(32x))^{3/2} + C \]

Где \(C\) - константа интегрирования.