Найти определенные интегралы

Это задание по математике, а конкретно по разделу математического анализа — определенные интегралы. Давайте решим каждое из интегралов.

1. \(\int_{0}^{1} 3x \, dx\) Найдем первообразную для \(3x\): \[\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}\] Теперь подставляем пределы интегрирования: \[\left[\frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{3 \cdot (1)^2}{2} - \frac{3 \cdot (0)^2}{2} = \frac{3}{2}\] Итак, первый интеграл равен \(\frac{3}{2}\).

2. \(\int_{1}^{2} 5x^2 \, dx\) Найдем первообразную для \(5x^2\): \[\int 5x^2 \, dx = \frac{5x^3}{3}\] Теперь подставляем пределы интегрирования: \[\left[\frac{5x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{5 \cdot (2)^3}{3} - \frac{5 \cdot (1)^3}{3} = \frac{5 \cdot 8}{3} - \frac{5 \cdot 1}{3} = \frac{40}{3} - \frac{5}{3} = \frac{35}{3}\] Итак, второй интеграл равен \(\frac{35}{3}\).

3. \(\int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx\) Найдем первообразную для \(2\sqrt{x}\): \[\int 2\sqrt{x} \, dx = \int 2x^{1/2} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4x^{3/2}}{3}\] Теперь подставляем пределы интегрирования: \[\left[\frac{4x^{3/2}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{4 \cdot (1)^{3/2}}{3} - \frac{4 \cdot (0)^{3/2}}{3} = \frac{4}{3}\] Итак, третий интеграл равен \(\frac{4}{3}\).

4. \(\int_{1}^{e^2} \frac{1}{x} \, dx\) Найдем первообразную для \(\frac{1}{x}\): \[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x|\] Теперь подставляем пределы интегрирования: \[\left[\ln|x|\right]_{1}^{e^2} = \ln(e^2) - \ln(1) = 2 \ln(e) - 0 = 2 \cdot 1 = 2\] Итак, четвертый интеграл равен \(2\).

Итак, ответы: 1) \(\frac{3}{2}\) 2) \(\frac{35}{3}\) 3) \(\frac{4}{3}\) 4) \(2\)