Найти одну из первообразных этой функции, то есть вычислить неопределённый интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы (первообразные)

Нам дана функция:

f(x) = 6^{2 - (x/3)}

Требуется найти одну из первообразных этой функции, то есть вычислить неопределённый интеграл:

\int 6^{2 - (x/3)} \, dx

Шаг 1: Замена переменной

Пусть:

u = 2 - \frac{x}{3}

Тогда производная:

\frac{du}{dx} = -\frac{1}{3} \Rightarrow dx = -3 \, du

Теперь выразим интеграл через переменную u:

 \int 6^{2 - (x/3)} \, dx = \int 6^u \cdot (-3) \, du = -3 \int 6^u \, du 

Шаг 2: Интегрирование показательной функции

Интеграл от показательной функции по основанию a:

\int a^u \, du = \frac{a^u}{\ln a} + C

Применим это:

 -3 \int 6^u \, du = -3 \cdot \frac{6^u}{\ln 6} + C = -\frac{3 \cdot 6^u}{\ln 6} + C 

Шаг 3: Подставим обратно u = 2 - \frac{x}{3}

 -\frac{3 \cdot 6^{2 - (x/3)}}{\ln 6} + C 

Ответ:

Одна из первообразных функции f(x) = 6^{2 - (x/3)} имеет вид:

 F(x) = -\frac{3 \cdot 6^{2 - (x/3)}}{\ln 6} + C