Найти объём тела вращения фигуры, ограниченной этими кривыми, вокруг оси

Тема задания относится к области математики, а именно к геометрии и разделу интегрального исчисления.

Задание:

У нас две функции: \( y = x^2 \) и \( y = 1 \), а также дана граница по оси \( x = 0 \). Необходимо найти объём тела вращения фигуры, ограниченной этими кривыми, вокруг оси \( x \). Наша цель — вычислить объём тела вращения методом дисков или колец вокруг оси \( x \).

1. Определим границы интегрирования:

Найдём точки пересечения функций \( y = x^2 \) и \( y = 1 \), которые будут служить границами для нашего интеграла.

\[ y = x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \]

Таким образом, область вращения по x будет от \( x = -1 \) до \( x = 1 \), а \( x = 0 \) служит дополнительной границей.

2. Используем метод дисков:

Формула для объёма тела вращения вокруг оси \( x \) имеет следующий вид:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} (R(x))^2 \, dx, \]

где \( R(x) \) — это радиус вращающегося диска, который в данном случае будет равен разности между границей \( y = 1 \) и функцией \( y = x^2 \).

3. Найдём выражение для объёма:

Рассмотрим общее выражение для объёма при вращении между функцией \( y = 1 \) и \( y = x^2 \) около оси \( x \). Метод колец в этом случае даёт выражение:

\[ V = \pi \int_{-1}^{1} [(1)^2 - (x^2)^2] \, dx \]

Простим наш интеграл:

\[ V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^4) \, dx. \]

4. Решим интеграл:

Интегрируем по частям:

1. Интеграл от \( 1 \):

\[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2. \]

2. Интеграл от \( x^4 \):

\[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} - \left(\frac{-1}{5}\right) = \frac{2}{5}. \]

Теперь можем собрать всё вместе:

\[ V = \pi \left( 2 - \frac{2}{5} \right) = \pi \left( \frac{10}{5} - \frac{2}{5} \right) = \pi \cdot \frac{8}{5}. \]

5. Ответ:

Объём тела вращения равен:

\[ V = \frac{8\pi}{5}. \]