Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Кратные интегралы (в частности, тройной интеграл для вычисления объема)

Условие задачи:

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями:

• z = 3 (нижняя граница по z)
• z = 30 (верхняя граница по z)
• x^2 + y^2 = 2 (ограничивает область в плоскости xy)
• x = \sqrt{y} и x = 0 (ограничения на x и y в плоскости xy)

Шаг 1: Определим границы интегрирования

Заметим, что тело ограничено по z между z = 3 и z = 30, то есть по z мы интегрируем от 3 до 30.

Оставшаяся часть — это область в плоскости xy, ограниченная:

• Сверху: x = \sqrt{y} \Rightarrow y = x^2
• Слева: x = 0
• И границей круга: x^2 + y^2 = 2

Найдем область пересечения между y = x^2 и x^2 + y^2 = 2:

Подставим y = x^2 в уравнение круга:

x^2 + (x^2)^2 = 2 \Rightarrow x^2 + x^4 = 2

Обозначим u = x^2:

u + u^2 = 2 \Rightarrow u^2 + u - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

u = 1 (так как u = x^2 \geq 0)

Значит, x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1

С учётом x \in [0, \sqrt{y}] и x \ge 0, берём x \in [0, 1]

Теперь определим границы интегрирования по x и y:

• x от 0 до 1
• y от x^2 до \sqrt{2 - x^2} (из уравнения круга: y = \sqrt{2 - x^2})

Шаг 2: Построим тройной интеграл

Объём тела вычисляется по формуле:

 V = \iiint\limits_{G} 1 \, dz\,dy\,dx 

Интегрирование по z — от 3 до 30 (просто вертикальный отрезок), по y — от x^2 до \sqrt{2 - x^2}, по x — от 0 до 1:

 V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{\sqrt{2 - x^2}} \int_{z=3}^{30} 1 \, dz\,dy\,dx 

Вычислим внутренний интеграл:

 \int_{z=3}^{30} 1\,dz = 30 - 3 = 27 

Теперь интеграл становится:

 V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{\sqrt{2 - x^2}} 27 \, dy\,dx = 27 \int_{x=0}^{1} \left( \sqrt{2 - x^2} - x^2 \right)\,dx 

Шаг 3: Вычислим оставшийся интеграл

 V = 27 \int_{0}^{1} \left( \sqrt{2 - x^2} - x^2 \right) dx 

Разделим на два интеграла:

 V = 27 \left( \int_{0}^{1} \sqrt{2 - x^2} \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \right) 

Первый интеграл — стандартный:

 \int_{0}^{1} \sqrt{2 - x^2} \, dx 

Подстановка x = \sqrt{2} \sin \theta, тогда dx = \sqrt{2} \cos \theta\, d\theta

Пределы: при x = 0 \Rightarrow \theta = 0, при x = 1 \Rightarrow \theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}

 \int_{0}^{1} \sqrt{2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 - 2 \sin^2 \theta} \cdot \sqrt{2} \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 \cos^2 \theta} \cdot \sqrt{2} \cos \theta \, d\theta 

 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos^2 \theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \, d\theta 

Используем формулу: \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta 

 = \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} 

Теперь второй интеграл:

 \int_{0}^{1} x^2\, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} 

Шаг 4: Подставим и найдём объём

 V = 27 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 27 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} \right) 

Приведём к общему знаменателю:

 \frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3\pi + 2}{12} 

Итак:

 V = 27 \cdot \frac{3\pi + 2}{12} = \frac{27(3\pi + 2)}{12} 

Ответ:

 V = \frac{27(3\pi + 2)}{12}  кубических единиц.