Найти объём тела, ограниченного поверхностями

Условие:

Найти объём тела, ограниченного поверхностями: x^2=4y, y+z=1, z=0.

Решение:

Это задание по предмету высшая математика, и мы занимаемся разделом многомерного интегрального исчисления, а именно - определением объема тела в пространстве. Чтобы найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями, можно использовать тройной интеграл. Первое уравнение \( x^2 = 4y \) задает параболоид в плоскости X-Y. Второе уравнение \( y + z = 1 \) представляет плоскость, и третье условие \( z = 0 \) означает, что нижней границей тела является плоскость Z, находящаяся в уровне z=0. Для начала выразим y: \[ y = \frac{x^2}{4} \] Объем тела мы найдем интегрированием функции 1 по ограниченному этими поверхностями объему. Начнем с вычисления границы интегрирования для z: \[ z \] меняется от 0 до \( 1 - y \) Теперь необходимо определить пределы интегрирования для y и x. Поскольку \( y = \frac{x^2}{4} \), то y изменяется от 0 до 1 (из уравнения плоскости y + z = 1 при z = 0). Соответственно, x будет изменяться от минус до плюс квадратного корня умноженного на 4, чтобы удовлетворять уравнению параболоида, то есть от \( -2\sqrt{y} \) до \( 2\sqrt{y} \). Теперь можно написать и решить тройной интеграл для объема: \[ V = \int \int \int dV \] \[ V = \int_{0}^{1} \int_{-2\sqrt{y}}^{2\sqrt{y}} \int_{0}^{1-y} dz \, dx \, dy \] Интегрируем по z первым: \[ V = \int_{0}^{1} \int_{-2\sqrt{y}}^{2\sqrt{y}} (1 - y) \, dx \, dy \] Внутренний интеграл вычисляется как: \[ V = \int_{0}^{1} [(1-y) x]_{-2\sqrt{y}}^{2\sqrt{y}} \, dy \] \[ V = 4 \int_{0}^{1} \sqrt{y}(1 - y) \, dy \] Чтобы решить этот интеграл, распишем его подробнее: \[ V = 4 \int_{0}^{1} (\sqrt{y} - y^{3/2}) \, dy \] Теперь интегрируем по y: \[ V = 4 \left[ \frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{2}{5}y^{5/2} \right]_{0}^{1} \] \[ V = 4 \left[ \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right] \] \[ V = 4 \left[ \frac{10}{15} - \frac{6}{15} \right] \] \[ V = 4 \left[ \frac{4}{15} \right] \] \[ V = \frac{16}{15} \] Итак, объем тела, ограниченного заданными поверхностями, составляет \( \frac{16}{15} \) кубических единиц.