Найти объём тела, ограниченного плоскостями

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление" или "Аналитическая геометрия".

Поставленная задача - найти объём тела, ограниченного плоскостями \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 2 \) и \( x + y + \frac{1}{2}z = 2 \). Рассмотрим шаги для решения этой задачи.

1. Выразим \( z \) из последнего уравнения:

\( x + y + \frac{1}{2}z = 2 \)

\( \frac{1}{2}z = 2 - x - y \)

\( z = 4 - 2x - 2y \)

2. Найдем область интегрирования.

Плоскость \( x + y + \frac{1}{2} z = 2 \) пересекается с \( z = 2 \) по линии, которую мы можем найти, подставив \( z = 2 \) в это уравнение:

\( x + y + 1 = 2 \)

\( x + y = 1 \)

Следовательно, границы интегрирования по \( x \) и \( y \) следующие:

\( 0 \leq x \leq 1 \)

\( 0 \leq y \leq 1 - x \)

3. Вычислим объем интеграцией.

\( V = \iiint_{D} dV \)

Где \( D \) - область, заданная выше:

\( V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{4-2x-2y} dz \, dy \, dx \)

Для внутреннего интеграла по \( z \):

\( \int_{0}^{4-2x-2y} dz = (4 - 2x - 2y) - 0 = 4 - 2x - 2y \)

Затем двухкратный интеграл:

\( V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (4 - 2x - 2y) \, dy \, dx \)

4. Интегрируем по \( y \):

\( \int_{0}^{1-x} (4 - 2x - 2y) \, dy \)

Разделим на два интеграла:

\( = \int_{0}^{1-x} 4 \, dy - \int_{0}^{1-x} 2x \, dy - \int_{0}^{1-x} 2y \, dy \)

• Первый интеграл: \( 4y \biggr|_{0}^{1-x} = 4(1 - x) \)
• Второй интеграл: \( 2x \cdot y \biggr|_{0}^{1-x} = 2x(1 - x) \)
• Третий интеграл: \( 2 \left(\frac{y^2}{2}\right) \biggr|_{0}^{1-x} = (1 - x)^2 \)

Тогда:

\( V = \int_{0}^{1} \left[ 4(1 - x) - 2x(1 - x) - (1 - x)^2 \right] dx \)

5. Упрощаем выражение внутри интеграла:

\( = \int_{0}^{1} \left[ 4 - 4x - 2x + 2x^2 - 1 + 2x - x^2 \right] dx \)

\( = \int_{0}^{1} \left[ 3 - 3x + x^2 \right] dx \)

6. Интегрируем по \( x \):

\( = \int_{0}^{1} 3 \, dx - \int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx \)

• Первый интеграл: \( 3x \biggr|_{0}^{1} = 3 \)
• Второй интеграл: \( \frac{3x^2}{2} \biggr|_{0}^{1} = \frac{3}{2} \)
• Третий интеграл: \( \frac{x^3}{3} \biggr|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \)

Тогда:

\( V = 3 - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \)

\( = \frac{9}{3} - \frac{4.5}{3} + \frac{1}{3} \)

\( = \frac{9 + 1 - 4.5}{3} \)

\( = \frac{5.5}{3} \)

\( = \frac{11}{6} \)

Таким образом, объем тела, ограниченного данным образом, равен \( \frac{11}{6} \).