Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси

Предмет и раздел:

Это задача из математического анализа, раздел "Интегралы". В частности, используется метод вычисления объёма тела вращения.

Условие задачи:

Необходимо найти объём тела, образованного вращением вокруг оси \(Ox\) фигуры, ограниченной:

• кривой \( y = \sqrt{x} \),
• линией \( y = 0 \) (ось \(Ox\)),
• вертикальной прямой \( x = 1 \).

Решение:

Объём тела вращения вокруг оси \(Ox\) вычисляется по формуле:

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \]

• \( f(x) \) — функция, график которой вращается вокруг оси \(Ox\),
• \([a, b]\) — границы интервала, на котором вращается эта фигура.

1. Подставляем данные:

Функция \( f(x) = \sqrt{x} \), левую границу \(a = 0\), правую границу \(b = 1\). Тогда:

\[ V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 \, dx. \]

2. Упростим подинтегральное выражение:

\( (\sqrt{x})^2 = x, \quad \text{поэтому} \)

\[ V = \pi \int_0^1 x \, dx. \]

3. Вычислим интеграл:

Интеграл от \(x\) равен:

\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C. \]

Подставляем границы интегрирования:

\[ \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}. \]

4. Подставим результат в формулу объёма:

\[ V = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}. \]

Ответ:

Объём тела вращения равен:

\[ \boxed{\frac{\pi}{2}} \]

где: