Найти объём тела, которое получается при вращении плоской криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математике, более конкретно к разделу интегральное исчисление – вычисление объёмов тел вращения.

Объяснение задачи

Нам нужно найти объём тела, которое получается при вращении плоской криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс \(Ox\).

Фигуру ограничивают следующие линии:

• \( y = x^2 + 9 \) (верхняя граница трапеции),
• \( x = 1 \) (левая граница),
• \( x = 3 \) (правая граница),
• \( y = 0 \) (ось абсцисс).

Теперь определим объём тела, полученного вращением этой криволинейной фигуры вокруг оси абсцисс.

Формула для объёма тела вращения

Чтобы найти объём тела вращения, мы используем форму, которая базируется на методе вращения вокруг оси:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx, \]

где:

• \( f(x) \) — функция, ограничивающая фигуру сверху вдоль оси \(y\),
• \( a \) и \( b \) — границы интегрирования по оси абсцисс.

Применение формулы

Для нас функция \(f(x) = \sqrt{y} = x^2 + 9\), а границы интегрирования: \(x = 1\) и \(x = 3\). Подставляем функцию в формулу для объёма:

\[ V = \pi \int_{1}^{3} (x^2 + 9)^2 \, dx. \]

Теперь раскроем квадрат:

\[ (x^2 + 9)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 + 18x^2 + 81. \]

Таким образом, наш интеграл принимает вид:

\[ V = \pi \int_{1}^{3} (x^4 + 18x^2 + 81) \, dx. \]

Теперь вычислим интегралы по каждому члену.

1. Для \(x^4\):

   \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}. \]

2. Для \(18x^2\):

   \[ \int 18x^2 \, dx = 18 \cdot \frac{x^3}{3} = 6x^3. \]

3. Для \(81\):

   \[ \int 81 \, dx = 81x. \]

Теперь подставляем пределы интегрирования \(x = 1\) и \(x = 3\):

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + 6x^3 + 81x \right]_{1}^{3}. \]

Подставляем значения

1. При \(x = 3\):

   \[ \frac{3^5}{5} + 6 \cdot 3^3 + 81 \cdot 3 = \frac{243}{5} + 6 \cdot 27 + 243 = \frac{243}{5} + 162 + 243. \]

   Приведём к общему знаменателю:

   \[ \frac{243}{5} + \frac{162 \times 5}{5} + \frac{243 \times 5}{5} = \frac{243 + 810 + 1215}{5} = \frac{2268}{5}. \]

2. При \(x = 1\):

   \[ \frac{1^5}{5} + 6 \cdot 1^3 + 81 \cdot 1 = \frac{1}{5} + 6 + 81 = \frac{1}{5} + \frac{6 \times 5}{5} + \frac{81 \times 5}{5} = \frac{1 + 30 + 405}{5} = \frac{436}{5}. \]

Разность значений

Теперь найдём разность полученных значений:

\[ \frac{2268}{5} - \frac{436}{5} = \frac{2268 - 436}{5} = \frac{1832}{5}. \]

Умножаем на \(\pi\):

\[ V = \pi \cdot \frac{1832}{5} = \frac{1832\pi}{5}. \]

Ответ

Объём тела равен:

\[ V = \frac{1832\pi}{5}. \]