Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Задание: Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

В данном случае у нас есть подраздел дифференциальных уравнений, который мы решим.

Точное уравнение: \( 0 = dy \cdot \sqrt{z^2 + y^2} + \sqrt{z^2 - x^2}dz + xdx \cdot \sqrt{z^2 + y^2} \)

Шаг 1: Преобразуем данное уравнение к виду, удобному для интегрирования:

Перепишем уравнение как: \[ dy \cdot \sqrt{z^2 + y^2} + \sqrt{z^2 - x^2} \cdot dz + x \cdot dx \cdot \sqrt{z^2 + y^2} = 0 \]

Шаг 2: Применим метод разделения переменных. Для этого выделим части уравнения, содержащие одни переменные:

\[ dy \cdot \sqrt{z^2 + y^2} + xdx \cdot \sqrt{z^2 + y^2} = -\sqrt{z^2 - x^2}dz\]

\[ dy \cdot \sqrt{z^2 + y^2} = - xdx \cdot \sqrt{z^2 + y^2}\]

\[ \frac{dy}{dx} = - x \]

\[ z^2 = x^2 + y^2 \]

\[ z -x \frac{dx}{dz} = y \frac{dy}{dz} = \pm1 \]

\[ z = const \]

Общий интеграл уравнения: \[ dy \cdot \sqrt{z^2 + y^2} + \sqrt{z^2 - x^2}dz + xdx \cdot \sqrt{z^2 + y^2} = 0\]