Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Этот пример относится к предмету математики, разделу дифференциальные уравнения, а именно уравнениям с разделяющимися переменными.

Рассмотрим дифференциальное уравнение: $\text{[}{y}^{\prime }{x}^2=y^2+1\text{]}$ Сначала перепишем уравнение через производную $\text{(}\frac{dy}{dx}\text{)}$: $\text{[}\frac{dy}{dx}{x}^2=y^2+1\text{]}$ Разделим переменные, чтобы все $\text{(}y\text{)}$-зависимые члены были с одной стороны, а $\text{(}x\text{)}$-зависимые с другой: $\text{[}\frac{dy}{y^2+1}=\frac{dx}{x^2}\text{]}$

Теперь интегрируем обе части уравнения. Для интеграла слева: $\text{[}\int \frac{dy}{y^2+1}\text{]}$ Этот интеграл представляет собой стандартный арктангенс: $\text{[}\int \frac{dy}{y^2+1}=\arctan (y)\text{]}$ Для интеграла справа: $\text{[}\int \frac{dx}{x^2}\text{]}$ Этот интеграл равен: $\text{[}\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}\text{]}$

Итак, после интегрирования обеих сторон у нас получается: $\text{[}\arctan (y)=-\frac{1}{x}+C\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная постоянная интегрирования. Теперь выразим $\text{(}y\text{)}$ через $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}y=\tan (-\frac{1}{x}+C)\text{]}$

Итак, общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: $\text{[}y=\tan (-\frac{1}{x}+C)\text{]}$

Подведём итог:

1. Переписали уравнение и разделили переменные.
2. Интегрировали обе части.
3. Выразили $\text{(}y\text{)}$ через $\text{(}x\text{)}$.

Ответ: $\text{(}y=\tan (-\frac{1}{x}+C)\text{)}$, где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная константа.