Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Этот пример относится к предмету математики, разделу дифференциальные уравнения, а именно уравнениям с разделяющимися переменными.

Рассмотрим дифференциальное уравнение: \[ y' x^2 = y^2 + 1 \] Сначала перепишем уравнение через производную \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} x^2 = y^2 + 1 \] Разделим переменные, чтобы все \( y \)-зависимые члены были с одной стороны, а \( x \)-зависимые с другой: \[ \frac{dy}{y^2 + 1} = \frac{dx}{x^2} \]

Теперь интегрируем обе части уравнения. Для интеграла слева: \[ \int \frac{dy}{y^2 + 1} \] Этот интеграл представляет собой стандартный арктангенс: \[ \int \frac{dy}{y^2 + 1} = \arctan(y) \] Для интеграла справа: \[ \int \frac{dx}{x^2} \] Этот интеграл равен: \[ \int x^{-2} dx = -\frac{1}{x} \]

Итак, после интегрирования обеих сторон у нас получается: \[ \arctan(y) = -\frac{1}{x} + C \] где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования. Теперь выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \tan\left( -\frac{1}{x} + C \right) \]

Итак, общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: \[ y = \tan\left( -\frac{1}{x} + C \right) \]

Подведём итог:

1. Переписали уравнение и разделили переменные.
2. Интегрировали обе части.
3. Выразили \( y \) через \( x \).

Ответ: \( y = \tan\left( -\frac{1}{x} + C \right) \), где \( C \) — произвольная константа.