Найти объм тела полученного при вращениивокруг оси Ox и вокруг оси Oy графика функции

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, вычисление объема тела вращения

Для нахождения объема тела, полученного при вращении кривой вокруг оси Ox и Oy, воспользуемся формулами объема тел вращения.

1. Вращение вокруг оси Ox

Объем тела, полученного при вращении графика функции y = \cos x вокруг оси Ox на отрезке [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ], вычисляется по формуле:

V_x = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx

Подставляем y = \cos x:

V_x = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \,dx

Используем тождество:

\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Тогда интеграл принимает вид:

V_x = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \,dx

Разделим интеграл на два:

V_x = \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \,dx + \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \,dx

Первый интеграл:

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \,dx = \left[ x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi

Второй интеграл:

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \,dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

Так как \sin 2x в пределах [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] симметрична относительно нуля, то интеграл равен нулю.

Таким образом:

V_x = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}

2. Вращение вокруг оси Oy

При вращении вокруг оси Oy используем метод цилиндрических слоев. Формула для объема:

V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) \,dx

Подставляем f(x) = \cos x:

V_y = 2\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \,dx

Используем метод интегрирования по частям, где:

• u = x, тогда du = dx
• dv = \cos x \,dx, тогда v = \sin x

Применяем формулу интегрирования по частям:

\int u \,dv = uv - \int v \,du

\int x \cos x \,dx = x \sin x - \int \sin x \,dx

\int \sin x \,dx = -\cos x, поэтому:

\int x \cos x \,dx = x \sin x + \cos x

Подставляем пределы:

\left[ x \sin x + \cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

Вычисляем:

\left( \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)

Так как \sin \frac{\pi}{2} = 1, \cos \frac{\pi}{2} = 0, \sin (-\frac{\pi}{2}) = -1, \cos (-\frac{\pi}{2}) = 0, получаем:

\left( \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \cdot (-1) + 0 \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0

Таким образом, объем V_y = 0.

Ответ:

• Объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox: \frac{\pi^2}{2}
• Объем тела, полученного при вращении вокруг оси Oy: 0