Найти область сходимости ряда

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды, область сходимости функционального ряда

Задание:
Найти область сходимости функционального ряда:

 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+2)\ln(n+2)(x - 3)^{2n}} 

Шаг 1: Обозначим общий член ряда

Обозначим общий член ряда как:

 a_n(x) = \frac{1}{(n+2)\ln(n+2)(x - 3)^{2n}} 

Это функциональный ряд (зависит от переменной ( x )). Нужно найти значения ( x ), при которых этот ряд сходится.

Шаг 2: Преобразуем для удобства

Пусть  y = x - 3 . Тогда ряд перепишется как:

 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+2)\ln(n+2) y^{2n}} 

Теперь задача сводится к изучению сходимости числового ряда в зависимости от параметра ( y ).

Шаг 3: Применим признак сравнения или корня/радиуса

Поскольку в знаменателе стоит степень ( y^{2n} ), удобно применить признак корня (Коши):

Рассмотрим:

 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{1}{(n+2)\ln(n+2) y^{2n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{[(n+2)\ln(n+2)]^{1/n} \cdot |y|^2} 

Так как:

 \lim_{n \to \infty} [(n+2)\ln(n+2)]^{1/n} = 1 

(это можно доказать, используя логарифмы и пределы), то получаем:

 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n(x)|} = \frac{1}{|y|^2} = \frac{1}{|x - 3|^2} 

По признаку Коши ряд сходится при:

 \frac{1}{|x - 3|^2} < 1 \quad \Rightarrow \quad |x - 3|^2 > 1 \quad \Rightarrow \quad |x - 3| > 1 

Шаг 4: Найдём область сходимости

Ряд сходится при:

 |x - 3| > 1 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty) 

Осталось проверить границы ( x = 2 ) и ( x = 4 ).

Шаг 5: Проверим сходимость на границах

При ( x = 2 \Rightarrow y = -1 ):

 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+2)\ln(n+2)(-1)^{2n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+2)\ln(n+2)} 

Это дивергентный ряд, так как он сравним с гармоническим логарифмически взвешенным рядом:

 \sum \frac{1}{n \ln n} 

который расходится.

При ( x = 4 \Rightarrow y = 1 ):

 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n+2)\ln(n+2)} 

Тот же самый ряд — расходится.

✅ Ответ:

Область сходимости ряда:

 x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)