Найти область сходимости функционального ряда

Это задание относится к предмету математического анализа, разделу теории функциональных рядов.

Нам необходимо найти область сходимости данного ряда. Рассматриваемый ряд: \[ \frac{3x}{\sqrt{2 \cdot 5}} + \frac{9x^2}{\sqrt{5 \cdot 5^2}} + \frac{27x^3}{\sqrt{8 \cdot 5^3}} + ... \]

Для того чтобы определить область сходимости этого ряда, воспользуемся радиусом сходимости. Для этого применим общее выражение для \(n\)-го члена ряда и затем найдем радиус сходимости. Обозначим: \[ a_n = \frac{(3x)^{n}}{\sqrt{(2n)(5^n)}} \]

Теперь найдем радиус сходимости, используя признак д’Аламбера: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Где: \[ a_n = \frac{3^n \cdot x^n}{\sqrt{2n} \cdot 5^{n/2}} \] и \[ a_{n+1} = \frac{3^{n+1} \cdot x^{n+1}}{\sqrt{2(n+1)} \cdot 5^{(n+1)/2}} \]

Тогда: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{ \frac{3^{n+1} \cdot x^{n+1}}{\sqrt{2(n+1)} \cdot 5^{(n+1)/2}}}{ \frac{3^n \cdot x^n}{\sqrt{2n} \cdot 5^{n/2}} } \right| = \left| \frac{3^{n+1} \cdot x^{n+1} \cdot \sqrt{2n} \cdot 5^{n/2}}{3^n \cdot x^n \cdot \sqrt{2(n+1)} \cdot 5^{(n+1)/2}} \right| \]

Упростим этот предел: \[ = \left| \frac{3x \cdot \sqrt{2n}}{\sqrt{2(n+1)} \cdot 5^{1/2}} \right| = \left| \frac{3x \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{5}} \right| \]

Когда \( n \to \infty \), \(\sqrt{n+1} \approx \sqrt{n}\): \[ = \left| \frac{3x \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{5}} \right| = \left| \frac{3x}{\sqrt{5}} \right| \]

Итак, предел имеет значение: \[ \left| \frac{3x}{\sqrt{5}} \right| \]

По признаку д'Аламбера ряд будет сходиться, если: \[ \left| \frac{3x}{\sqrt{5}} \right| < 1 \]

Из этого условия находим: \[ \left| x \right| < \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Соответственно, областью сходимости данного ряда является: \[ (-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}) \]