Найти область D и, возможно, интеграл по этой области, исходя из указанных ограничений

Задание относится к разделу математики, а именно к множественным (двойным) интегралам и области интегрирования на плоскости.

В данном случае необходимо найти область \( D \) и, возможно, интеграл по этой области, исходя из указанных ограничений.

Описание задачи

Для пункта 1.9, область \( D \) задается двумя кривыми:

• \[ y^2 = 2x \quad \text{(парабола)}, \]
• \[ x^2 = 2y \quad \text{(криволинейная граница)}, \]

и условием \( x \leq 1 \).

Построим область \( D \):

1. Парабола \( y^2 = 2x \):
   • Это уравнение описывает правую ветвь параболы, которая пересекает ось \( x \) в точке \( x = 0 \) и достигает вершины при \( y = 0 \). График открывается вправо.
2. Парабола \( x^2 = 2y \):
   • Это уравнение описывает ветвь параболы, которая пересекает ось \( y \) в точке \( y = 0 \) и достигает вершины при \( x = 0 \). График открывается вверх.
3. Ограничение \( x \leq 1 \):
   • Это дополнительное условие означает, что рассматриваем только те точки, для которых \( x \) не превышает 1.

Найдем точки пересечения этих кривых:

Пусть \( y^2 = 2x \) и \( x^2 = 2y \). Подставим выражение \( x = \frac{y^2}{2} \) из первого уравнения во второе:

Решим:

• \[ \frac{y^4}{4} = 2y, \]
• \[ y^4 = 8y. \]

Разделим обе части на \( y \) (при условии \( y \neq 0 \)):

• \[ y^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad y = 2. \]

Теперь подставим \( y = 2 \) в уравнение \( y^2 = 2x \):

• \[ 2^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 2. \]

Таким образом, кривые пересекаются в точке \( (2, 2) \). Но с учетом ограничения \( x \leq 1 \), мы будем рассматривать ограниченную область \( D \) на участке кривых, где \( 0 \leq x \leq 1 \).

Построение области:

1. Левая граница области соответствует кривой \( y^2 = 2x \),
2. Правая граница — это прямая \( x = 1 \),
3. Верхняя граница — это кривая \( x^2 = 2y \),
4. Область замыкается в точке \( (0, 0) \) (начало координат).

Подготовка к решению двойного интеграла:

Для того чтобы записать двойной интеграл, нам нужно выразить пределы интегрирования.

• Верхняя кривая: \( x^2 = 2y \), т.е. \( y = \frac{x^2}{2} \);
• Нижняя кривая: \( y^2 = 2x \), т.е. \( y = \sqrt{2x} \).

Пределы для \( x \):

Пределы для \( y \) зависят от \( x \) и находятся между \( \frac{x^2}{2} \) и \( \sqrt{2x} \).

Тогда двойной интеграл по области \( D \) можно записать как:

Графическое изображение:

Теперь представим график на плоскости:

График похож на вытянутую область, ограниченную двумя параболами, расположенными симметрично.

Заключение:

Мы построили область, записали двойной интеграл и определили все пределы интегрирования.