Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный анализ (вычисление объемов с помощью интегралов)

Дано тело, ограниченное двумя поверхностями:

1. x^2 + y^2 = 12 - 2z,
2. x^2 + y^2 = z.

Необходимо найти объем этого тела. Для этого используем цилиндрические координаты (r, \varphi, z), где x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi, z = z, и выражение для объема:

V = \iiint\limits_T r \, dr \, d\varphi \, dz.

1. Определение границ интегрирования

Перепишем уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:

• Первая поверхность: r^2 = 12 - 2z \implies z = 6 - \frac{r^2}{2}.
• Вторая поверхность: r^2 = z \implies z = r^2.

Тело ограничено сверху поверхностью z = 6 - \frac{r^2}{2} и снизу поверхностью z = r^2.
Для определения границ r найдем точки пересечения этих поверхностей, решая уравнение:

r^2 = 6 - \frac{r^2}{2} \implies \frac{3r^2}{2} = 6 \implies r^2 = 4 \implies r = 2.

Таким образом:

• r изменяется от 0 до 2,
• \varphi изменяется от 0 до 2\pi,
• z изменяется от r^2 до 6 - \frac{r^2}{2}.

2. Выражение для объема

Теперь объем выражается как:

V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^2 \int\limits_{r^2}^{6 - \frac{r^2}{2}} r \, dz \, dr \, d\varphi.

3. Интегрирование

Интегрируем сначала по z:

\int\limits_{r^2}^{6 - \frac{r^2}{2}} r \, dz = r \left[ z \right]_{r^2}^{6 - \frac{r^2}{2}} = r \left( 6 - \frac{r^2}{2} - r^2 \right) = r \left( 6 - \frac{3r^2}{2} \right).

Теперь объем:

V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^2 r \left( 6 - \frac{3r^2}{2} \right) dr \, d\varphi.

Интегрируем по r:

\int\limits_0^2 r \left( 6 - \frac{3r^2}{2} \right) dr = \int\limits_0^2 \left( 6r - \frac{3r^3}{2} \right) dr = \left[ 3r^2 - \frac{3r^4}{8} \right]_0^2 = 3(4) - \frac{3(16)}{8} = 12 - 6 = 6.

Теперь интегрируем по \varphi:

V = \int\limits_0^{2\pi} 6 \, d\varphi = 6 \cdot 2\pi = 12\pi.

Ответ:

Объем тела равен 12\pi.