Найти объем тела вращения

На изображении представлено задание по математике, которое относится к разделу высшей математики, а именно к интегральному исчислению. Задача заключается в нахождении объема тела вращения, созданного в результате вращения плоской фигуры вокруг оси координат.

Даны три уравнения:

• 1. y = 2x + 1 (линейная функция)
• 2. y = x + 4 (линейная функция)
• 3. x = 0 (ось Y)
• 4. x = 1 (вертикальная линия параллельно оси Y)

Плоская фигура ограничена этими линиями, и ее объем при вращении вокруг оси X нужно найти. Для нахождения объема по методу дисков, объем V тела вращения определяется интегралом по формуле:

V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx

где f(x) — это уравнение функции, а a и b — пределы интегрирования (то есть границы фигуры по оси X).

В этой задаче необходимо найти объем тела вращения вокруг оси X для двух функций (y=2x+1 и y=x+4) на интервале x от 0 до 1. Таким образом, мы должны взять интегралы для квадратов указанных функций на заданном интервале и вычесть один из другого, чтобы получить объем между ними, и затем умножить результат на π.

Обратите внимание, что нас интересует область между графиками функций y=2x+1 и y=x+4 на интервале от x=0 до x=1. Объем равен разности двух интегралов, поскольку мы вычитаем меньший объем, созданный вращением линии y=2x+1, из большего объема, созданного вращением линии y=x+4:

V = \pi \int_{0}^{1} [(x + 4)^2 - (2x + 1)^2] dx

Раскрытие скобок и интегрирование даст нам объем:

V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 8x + 16 - (4x^2 + 4x + 1)) dx

V = \pi \int_{0}^{1} (-3x^2 + 4x + 15) dx

V = \pi \left[ \frac{-3x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 15x \right]_{0}^{1}

V = \pi \left[ -x^3 + 2x^2 + 15x \right]_{0}^{1}

V = \pi \left[ -1 + 2 + 15 \right] - \pi \left[0\right]

V = \pi (16)

V = 16\pi

Таким образом, объем тела вращения равен 16\pi кубических единиц.