Найти объем тела вращения

Условие:

Решение:

На изображении представлено задание по математике, которое относится к разделу высшей математики, а именно к интегральному исчислению. Задача заключается в нахождении объема тела вращения, созданного в результате вращения плоской фигуры вокруг оси координат. Даны три уравнения: 1. y = 2x + 1 (линейная функция) 2. y = x + 4 (линейная функция) 3. x = 0 (ось Y) 4. x = 1 (вертикальная линия параллельно оси Y) Плоская фигура ограничена этими линиями, и ее объем при вращении вокруг оси X нужно найти. Для нахождения объема по методу дисков, объем V тела вращения определяется интегралом по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] где \( f(x) \) — это уравнение функции, а \( a \) и \( b \) — пределы интегрирования (то есть границы фигуры по оси X). В этой задаче необходимо найти объем тела вращения вокруг оси X для двух функций (y=2x+1 и y=x+4) на интервале \( x \) от 0 до 1. Таким образом, мы должны взять интегралы для квадратов указанных функций на заданном интервале и вычесть один из другого, чтобы получить объем между ними, и затем умножить результат на π. Обратите внимание, что нас интересует область между графиками функций y=2x+1 и y=x+4 на интервале от x=0 до x=1. Объем равен разности двух интегралов, поскольку мы вычитаем меньший объем, созданный вращением линии y=2x+1, из большего объема, созданного вращением линии y=x+4: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [(x + 4)^2 - (2x + 1)^2] dx \] Раскрытие скобок и интегрирование даст нам объем: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 8x + 16 - (4x^2 + 4x + 1)) dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} (-3x^2 + 4x + 15) dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{-3x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 15x \right]_{0}^{1} \] \[ V = \pi \left[ -x^3 + 2x^2 + 15x \right]_{0}^{1} \] \[ V = \pi \left[ -1 + 2 + 15 \right] - \pi \left[0\right] \] \[ V = \pi (16) \] \[ V = 16\pi \] Таким образом, объем тела вращения равен \( 16\pi \) кубических единиц.