Найти объем тела вращения, ограниченного плоскостями х = - 2, х = 1, и поверхностью, образованной вращением кривой у = 2* + 4 вокруг оси ОХ.

Определим предмет и раздел предмета данного задания:

Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление (вычисление объемов тел вращения)

Теперь подробно решим задание:

Найти объем тела вращения, ограниченного плоскостями \( x = -2 \), \( x = 1 \), и поверхностью, образованной вращением кривой \( y = 2x + 4 \) вокруг оси \( OX \).

Когда кривая \( y = f(x) \) вращается вокруг оси \( OX \), объем тела вращения можно найти с использованием метода цилиндрических оболочек (если вращение происходит вокруг оси \( OX \)) с использованием формулы для объемов тел вращения методом дисков/колец. Формула для объема будет зависеть от следующего интеграла: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] В данном случае \( f(x) = 2x + 4 \). Определим пределы интегрирования, которые заданы в условии: \( x = -2 \) и \(x = 1\).

Шаги решения:

1. Подставим \( f(x) \) в формулу.
2. Определим пределы интегрирования.
3. Выполним интегрирование.

1. Подставим \( f(x) \) в формулу для объема:

\[ V = \pi \int_{-2}^{1} (2x + 4)^2 \, dx \]

2. Подготовка функции под интеграл и раскрытие скобок:

\[ (2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16 \] Таким образом, наш интеграл примет вид: \[ V = \pi \int_{-2}^{1} (4x^2 + 16x + 16) \, dx \]

3. Интегрирование:

Разделим интеграл на три части и интегрируем каждую отдельно: \[ V = \pi \left[ \int_{-2}^{1} 4x^2 \, dx + \int_{-2}^{1} 16x \, dx + \int_{-2}^{1} 16 \, dx \right] \] Теперь решим каждый интеграл:

• Интеграл \(\int_{-2}^{1} 4x^2 \, dx\): \[ \int 4x^2 \, dx = \frac{4}{3}x^3 \]
• Интеграл \(\int_{-2}^{1} 16x \, dx\): \[ \int 16x \, dx = 8x^2 \]
• Интеграл \(\int_{-2}^{1} 16 \, dx\): \[ \int 16 \, dx = 16x \]

Пусть теперь мы подставим пределы интегрирования \( -2 \) и \( 1 \) в каждую функцию: \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3} \left(1^3 - (-2)^3\right) + 8 \left(1^2 - (-2)^2\right) + 16 \left(1 - (-2)\right) \right] \] Рассчитаем значения:

• \( \frac{4}{3} (1 - (-8)) = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12 \)
• \( 8 (1 - 4) = 8 \cdot (-3) = -24 \)
• \( 16 (1 + 2) = 16 \cdot 3 = 48 \)

Теперь сложим эти результаты: \[ V = \pi (12 - 24 + 48) = \pi (36) \] Итак, объем тела вращения: \[ V = 36\pi \]

Ответ:

Объем тела вращения равен \( 36\pi \) кубических единиц.