Найти объем тела вращения, ограниченного плоскостями х = 1, х = 2, и поверхностью, образованной вращением кривой у = x^2+ 4 вокруг оси ОХ

Определим предмет этого задания. Оно относится к математике, а конкретно к разделу математического анализа и вычислению объемов тел вращения. Теперь перейдём к решению задачи.

Объём тела вращения, ограниченного плоскостями \( x = 1 \) и \( x = 2 \), и поверхностью, образованной вращением кривой \( y = x^2 + 4 \) вокруг оси \( OX \), можно найти с помощью метода интегрирования. При этом нужно использовать формулу для объема тела вращения вокруг оси \( OX \): \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] В нашем случае \( f(x) = x^2 + 4 \), \( a = 1 \), и \( b = 2 \). Подставим это в формулу: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (x^2 + 4)^2 \, dx \]

Теперь раскроем квадрат: \[ (x^2 + 4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16 \] Подставим это в интеграл: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (x^4 + 8x^2 + 16) \, dx \] Разделим интеграл на три части: \[ V = \pi \left( \int_{1}^{2} x^4 \, dx + 8 \int_{1}^{2} x^2 \, dx + 16 \int_{1}^{2} \, dx \right) \] Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности:

1. Интеграл \(\int_{1}^{2} x^4 \, dx \): \[ \int_{1}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \]
2. Интеграл \(\int_{1}^{2} x^2 \, dx\): \[ \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7/3} \]
3. Интеграл \(\int_{1}^{2} \, dx\): \[ \int_{1}^{2} \, dx = \left[ x \right]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1 \]

Теперь подставим все найденные значения в общий интеграл: \[ V = \pi \left( \frac{31}{5} + 8 \cdot \frac{7}{3} + 16 \cdot 1 \right) \] Выполним умножение: \[ 8 \cdot \frac{7}{3} = \frac{56}{3} \] \[ 16 \cdot 1 = 16 \] Теперь приведем к общему знаменателю и сложим дроби: \[ \frac{31}{5} = \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{93/15} \] \[ \frac{56}{3} = \frac{56 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{280/15} \] \[ 16 = \frac{16 \cdot 15}{1 \cdot 15} = \frac{240/15} \] Теперь сложим эти дроби: \[ \frac{93}{15} + \frac{280}{15} + \frac{240}{15} = \frac{93 + 280 + 240}{15} = \frac{613/15} \] Теперь умножим на \(\pi\): \[ V = \pi \cdot \frac{613}{15} = \frac{613\pi}{15} \] Таким образом, объем тела вращения равен \(\frac{613\pi}{15}\) единиц объема.