Найти объем тела, полученного вращением указанной фигуры вокруг оси Ox

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление, задача на вычисление объема тела вращения.

Условие:

Даны две кривые:

1. \( y^2 = 4x \) — это парабола, открытая вправо.
2. \( x^2 = 4y \) — это парабола, открытая вверх.

Требуется найти объем тела, полученного вращением указанной фигуры вокруг оси Ox (оси \(x\)).

Шаг 1. Определение точек пересечения

Для начала нужно определить область, в которой расположена эта фигура, а для этого найдем точки пересечения двух данных кривых. Для этого решим совместно две системы:

\[ y^2 = 4x \]

\[ x^2 = 4y \]

Шаг 2. Перепишем уравнения

Выразим \(x\) из первого уравнения:

\[ x = \frac{y^2}{4}. \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \left( \frac{y^2}{4} \right)^2 = 4y. \]

Приводим к виду:

\[ \frac{y^4}{16} = 4y, \]

умножим обе части на 16:

\[ y^4 = 64y. \]

Переносим все в одну сторону:

\[ y^4 - 64y = 0. \]

Решим это уравнение, вынеся \(y\) за скобки:

\[ y(y^3 - 64) = 0. \]

Отсюда два случая:

1. \( y = 0 \),
2. \( y^3 = 64 \), что дает \( y = 4 \).

Шаг 3. Найдем соответствующие значения \(x\)

Теперь, когда мы знаем, что \( y = 0 \) и \( y = 4 \), найдем соответствующие значения \(x\).

• При \(y = 0\), из уравнения \(y^2 = 4x\) получаем:

  \[ x = 0. \]

• При \(y = 4\), из уравнения \(y^2 = 4x\) находим:

  \[ 16 = 4x \implies x = 4. \]

Следовательно, линии пересекаются в точках \((0, 0)\) и \((4, 4)\).

Шаг 4. Объем тела вращения

Теперь используем метод вращения: для нахождения объема вращающегося тела нужно вычислить интеграл по оси \(x\), используя формулу:

\[ V = \pi \int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} (y_{\text{внеш}}^2 - y_{\text{внутр}}^2) \, dx. \]

Так как вращаем вокруг оси \(Ox\), нам нужно выразить функции \(y\) через \(x\) для каждой кривой.

Шаг 5. Определение функций

1. Для первой кривой \(y^2 = 4x\), решим относительно \(y\):

   \[ y = 2\sqrt{x}. \]

2. Для второй кривой \(x^2 = 4y\), выразим \(y\) через \(x\):

   \[ y = \frac{x^2}{4}. \]

Шаг 6. Определение пределов интегрирования

Мы уже нашли, что границы интегрирования по оси \(x\) — от 0 до 4 (по точкам пересечения). Следовательно, объем вращения фигуры вокруг оси \(Ox\) будет вычисляться по следующему интегралу:

\[ V = \pi \int_0^4 \left[ \left(2\sqrt{x}\right)^2 - \left(\frac{x^2}{4}\right)^2 \right] dx. \]

Шаг 7. Упрощение выражения под знаком интеграла

Упрощаем выражение:

\[ V = \pi \int_0^4 \left[ 4x - \frac{x^4}{16} \right] dx. \]

Шаг 8. Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

\[ V = \pi \left[ 2x^2 - \frac{x^5}{80} \right]_0^4. \]

Подставляем пределы:

1. Для \(x = 4\):

   \[ 2(4^2) - \frac{4^5}{80} = 2(16) - \frac{1024}{80} = 32 - 12.8 = 19.2. \]

2. Для \(x = 0\) значение выражения равно 0.

Следовательно:

\[ V = \pi \cdot 19.2. \]

Ответ:

Объем тела \( V = 19.2\pi \).