Найти объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси Oy

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление, вычисление объемов тел вращения

Решение:

Дано:
Фигура ограничена кривыми:

• x = \sqrt{y}
• y = 4
• x = 0

Требуется найти объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси Oy.

Используем метод цилиндрических слоев. Формула объема тела вращения вокруг оси Oy:

 V = 2\pi \int_{a}^{b} x(y) \cdot h(y) \, dy 

Где:

• x(y) = \sqrt{y} — радиус слоя
• h(y) = 1 — толщина слоя
• Пределы интегрирования: y \in [0, 4]

Подставляем:

 V = 2\pi \int_{0}^{4} \sqrt{y} \, dy 

Вычисляем интеграл:

 \int \sqrt{y} \, dy = \int y^{1/2} \, dy = \frac{2}{3} y^{3/2} 

Подставляем пределы:

 V = 2\pi \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{0}^{4} 

Подставляем значения:

 V = 2\pi \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) 

Так как 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8, то:

 V = 2\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 = 2\pi \cdot \frac{16}{3} = \frac{32\pi}{3} 

Ответ: \frac{32\pi}{3}