Найти обьем тела полученного вращением фигуры вокруг оси и ограниченного линиями

Условие:

Найти обьем тела полученного вращением фигуры вокруг оси и ограниченного линиями

Решение:

Данное задание относится к секции математики, а именно к разделу интегрального исчисления, в частности к нахождению объемов тел вращения с использованием определенных интегралов. На изображении дана функция \( y = \cos x \), и мы хотим найти объем тела, которое образуется вращением области, ограниченной этой функцией и прямыми \( x = 0 \), \( x = \pi \), \( y = 0 \), вокруг оси OX. Для нахождения объема тела вращения вокруг оси OX используется формула объема, выражаемая через определенный интеграл: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] где \( f(x) \) – заданная функция, а \( a \) и \( b \) – границы области вдоль оси X. В нашем случае, \( f(x) = \cos x \), \( a = 0 \), и \( b = \pi \). Теперь давайте найдем объем, подставив нашу функцию в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} [\cos(x)]^2 dx \] Чтобы решить данный интеграл, воспользуемся тригонометрическим тождеством: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] Тогда интеграл будет выглядеть так: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx \] Раскрываем интеграл на два слагаемых: \[ V = \pi \left[ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(2x)}{2} dx \right] \] Теперь найдем интегралы по отдельности: 1. \( \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} dx = \frac{x}{2} \Big|_0^\pi = \frac{\pi}{2} \) 2. \( \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(2x)}{2} dx \) – этот интеграл равен нулю, так как интеграл от косинуса на симметричных пределах интегрирования относительно точки равновесия функции \( \cos(2x) \) равен 0. Следовательно: \[ V = \pi \left[ \frac{\pi}{2} + 0 \right] \] \[ V = \frac{\pi^2}{2} \] Итак, объем тела вращения, образованного вращением графика функции \( y = \cos x \) между \( x = 0 \) и \( x = \pi \) вокруг оси OX, равен \( \frac{\pi^2}{2} \).