Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями с помощью тройного интеграла

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный анализ, тройные интегралы

Нам нужно найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1. z = x^2 + y^2
2. z = 2x^2 + 2y^2
3. y = x
4. y = x^2

1. Определение области интегрирования

Объем тела можно вычислить с помощью тройного интеграла:
V = \iiint\limits_{D} dV,
где D — область, ограниченная заданными поверхностями.

Поскольку поверхности z = x^2 + y^2 и z = 2x^2 + 2y^2 задают нижнюю и верхнюю границы по z, можно записать:
x^2 + y^2 \leq z \leq 2x^2 + 2y^2.

Область D в плоскости xy ограничена кривыми y = x и y = x^2.

2. Запись тройного интеграла

Объем тела вычисляется интегралом:
 V = \int\limits_{x=a}^{b} \int\limits_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} \int\limits_{z=f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} dz \, dy \, dx. 

Подставляем границы:

• x изменяется от a=0 до b=1 (пересечение y = x и y = x^2 при x^2 = x даёт x(x - 1) = 0, то есть x = 0 и x = 1).
• y изменяется от g_1(x) = x^2 до g_2(x) = x.
• z изменяется от f_1(x,y) = x^2 + y^2 до f_2(x,y) = 2x^2 + 2y^2.

Тогда интеграл принимает вид:
 V = \int\limits_0^1 \int\limits_{x^2}^{x} \int\limits_{x^2 + y^2}^{2x^2 + 2y^2} dz \, dy \, dx. 

3. Вычисление интеграла

Вычисляем внутренний интеграл по z:
 \int\limits_{x^2 + y^2}^{2x^2 + 2y^2} dz = (2x^2 + 2y^2) - (x^2 + y^2) = x^2 + y^2. 

Подставляем в двойной интеграл:
 V = \int\limits_0^1 \int\limits_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) dy \, dx. 

Вычисляем интеграл по y:
 \int\limits_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) dy = x^2 y + \frac{y^3}{3} \Big|_{x^2}^{x}. 

Подставляем пределы:
 \left( x^2 x + \frac{x^3}{3} \right) - \left( x^2 x^2 + \frac{x^6}{3} \right). 

Упрощаем:
 x^3 + \frac{x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} = \frac{3x^3 + x^3 - 3x^4 - x^6}{3} = \frac{4x^3 - 3x^4 - x^6}{3}. 

Теперь вычисляем интеграл по x:
 V = \int\limits_0^1 \frac{4x^3 - 3x^4 - x^6}{3} dx. 

Интегрируем:
 V = \frac{1}{3} \left( \frac{4x^4}{4} - \frac{3x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right) \Big|_0^1. 

Подставляем пределы:
 V = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{4} - \frac{3}{5} - \frac{1}{7} \right) = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{3}{5} - \frac{1}{7} \right). 

Приводим к общему знаменателю (35):
 1 = \frac{35}{35}, \quad \frac{3}{5} = \frac{21}{35}, \quad \frac{1}{7} = \frac{5}{35}. 

 1 - \frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{35 - 21 - 5}{35} = \frac{9}{35}. 

 V = \frac{1}{3} \times \frac{9}{35} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}. 

4. Ответ

Объем тела равен:
V = \frac{3}{35}.