Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями с помощью тройного интеграла

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный анализ, тройные интегралы

Нам нужно найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1. $z=x^2+y^2$
2. $z=2x^2+2y^2$
3. $y=x$
4. $y=x^2$

1. Определение области интегрирования

Объем тела можно вычислить с помощью тройного интеграла:
$V=\underset{D}{\iiint }dV$,
где $D$ — область, ограниченная заданными поверхностями.

Поскольку поверхности $z=x^2+y^2$ и $z=2x^2+2y^2$ задают нижнюю и верхнюю границы по $z$, можно записать:
$x^2+y^2\le z\le 2x^2+2y^2$.

Область $D$ в плоскости $xy$ ограничена кривыми $y=x$ и $y=x^2$.

2. Запись тройного интеграла

Объем тела вычисляется интегралом:
$V=\underset{x=a}{\overset{b}{\int }}\underset{y=g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}\underset{z=f_1(x,y)}{\overset{f_2(x,y)}{\int }}dzdydx.$

Подставляем границы:

• $x$ изменяется от $a=0$ до $b=1$ (пересечение $y=x$ и $y=x^2$ при $x^2=x$ даёт $x(x-1)=0$, то есть $x=0$ и $x=1$).
• $y$ изменяется от $g_1(x)=x^2$ до $g_2(x)=x$.
• $z$ изменяется от $f_1(x,y)=x^2+y^2$ до $f_2(x,y)=2x^2+2y^2$.

Тогда интеграл принимает вид:
$V=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{x^2}{\overset{x}{\int }}\underset{x^2+y^2}{\overset{2x^2+2y^2}{\int }}dzdydx.$

3. Вычисление интеграла

Вычисляем внутренний интеграл по $z$:
$\underset{x^2+y^2}{\overset{2x^2+2y^2}{\int }}dz=(2x^2+2y^2)-(x^2+y^2)=x^2+y^2.$

Подставляем в двойной интеграл:
$V=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{x^2}{\overset{x}{\int }}(x^2+y^2)dydx.$

Вычисляем интеграл по $y$:
$\underset{x^2}{\overset{x}{\int }}(x^2+y^2)dy=x^{2}y+\frac{y^3}{3}{|}_{x^2}^x.$

Подставляем пределы:
$(x^{2}x+\frac{x^3}{3})-(x^2{x}^2+\frac{x^6}{3}).$

Упрощаем:
$x^3+\frac{x^3}{3}-x^4-\frac{x^6}{3}=\frac{3x^3+x^3-3x^4-x^6}{3}=\frac{4x^3-3x^4-x^6}{3}.$

Теперь вычисляем интеграл по $x$:
$V=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{4x^3-3x^4-x^6}{3}dx.$

Интегрируем:
$V=\frac{1}{3}(\frac{4x^4}{4}-\frac{3x^5}{5}-\frac{x^7}{7}){|}_0^1.$

Подставляем пределы:
$V=\frac{1}{3}(\frac{4}{4}-\frac{3}{5}-\frac{1}{7})=\frac{1}{3}(1-\frac{3}{5}-\frac{1}{7}).$

Приводим к общему знаменателю (35):
$1=\frac{35}{35},\frac{3}{5}=\frac{21}{35},\frac{1}{7}=\frac{5}{35}.$

$1-\frac{21}{35}-\frac{5}{35}=\frac{35-21-5}{35}=\frac{9}{35}.$

$V=\frac{1}{3}\times \frac{9}{35}=\frac{9}{105}=\frac{3}{35}.$

4. Ответ

Объем тела равен:
$V=\frac{3}{35}$.