Найти объем тела, ограниченного поверхностью

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы (нахождение объема тела, ограниченного поверхностью)

Задание:
Найти объем тела, ограниченного поверхностью:

6z = x^2 + 3y^2,
между плоскостью z = 5 и областью y \ge 2.

Шаг 1: Преобразуем уравнение поверхности

Дано:

6z = x^2 + 3y^2
Выразим z:

z = \dfrac{x^2 + 3y^2}{6}

Это поверхность, ограничивающая тело снизу.

Сверху тело ограничено плоскостью z = 5.

Шаг 2: Объем между поверхностями

Объем между двумя поверхностями z = f(x, y) и z = g(x, y) (если f(x, y) \le g(x, y)) над областью D вычисляется по формуле:

 V = \iint\limits_D (g(x, y) - f(x, y))\, dx\,dy 

В нашем случае:

• Верхняя поверхность: g(x, y) = 5
• Нижняя поверхность: f(x, y) = \dfrac{x^2 + 3y^2}{6}

Тогда:

 V = \iint\limits_D \left(5 - \dfrac{x^2 + 3y^2}{6}\right)\, dx\,dy 

Шаг 3: Определим область интегрирования

Из условия: y \ge 2, но других ограничений нет. Чтобы объем был конечным, нужно, чтобы тело было ограничено по x и y.
Однако, плоскость z = 5 пересекает поверхность z = \dfrac{x^2 + 3y^2}{6} по кривой:

 5 = \dfrac{x^2 + 3y^2}{6} \Rightarrow x^2 + 3y^2 = 30 

Это эллипс:
\dfrac{x^2}{30} + \dfrac{y^2}{10} = 1

Но нас интересует только часть этого эллипса при y \ge 2.

Следовательно, область D — это часть эллипса x^2 + 3y^2 \le 30 при y \ge 2.

Шаг 4: Переход к двойному интегралу

Для удобства выразим границы:

Из уравнения эллипса:

x^2 \le 30 - 3y^2 \Rightarrow x \in \left[-\sqrt{30 - 3y^2}, \sqrt{30 - 3y^2}\right]

y \in [2, \sqrt{10}],
так как 3y^2 \le 30 \Rightarrow y^2 \le 10 \Rightarrow y \le \sqrt{10}

Шаг 5: Записываем интеграл

 V = \int\limits_{y=2}^{\sqrt{10}} \int\limits_{x=-\sqrt{30 - 3y^2}}^{\sqrt{30 - 3y^2}} \left(5 - \dfrac{x^2 + 3y^2}{6} \right)\, dx\,dy 

Шаг 6: Вычисляем внутренний интеграл

Поскольку подынтегральная функция четная по x, интеграл по x от -a до a можно заменить на удвоенный от 0 до a:

 V = \int\limits_{2}^{\sqrt{10}} 2 \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} \left(5 - \dfrac{x^2 + 3y^2}{6} \right)\, dx\,dy 

Вычислим внутренний интеграл:

 \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} \left(5 - \dfrac{x^2 + 3y^2}{6} \right)\, dx = \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} \left(5 - \dfrac{x^2}{6} - \dfrac{3y^2}{6} \right)\, dx 

 = \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} \left(5 - \dfrac{x^2}{6} - \dfrac{y^2}{2} \right)\, dx 

Вынесем постоянные:

 = \left(5 - \dfrac{y^2}{2} \right) \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} dx - \dfrac{1}{6} \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} x^2 dx 

Вычисляем:

1. \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} dx = \sqrt{30 - 3y^2}
2. \int\limits_{0}^{\sqrt{30 - 3y^2}} x^2 dx = \dfrac{(30 - 3y^2)^{3/2}}{3}

Подставим:

 = \left(5 - \dfrac{y^2}{2} \right)\sqrt{30 - 3y^2} - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{(30 - 3y^2)^{3/2}}{3} 

 = \left(5 - \dfrac{y^2}{2} \right)\sqrt{30 - 3y^2} - \dfrac{(30 - 3y^2)^{3/2}}{18} 

Шаг 7: Подставим во внешний интеграл

 V = 2 \int\limits_{2}^{\sqrt{10}} \left[ \left(5 - \dfrac{y^2}{2} \right)\sqrt{30 - 3y^2} - \dfrac{(30 - 3y^2)^{3/2}}{18} \right]\, dy 

Этот интеграл можно вычислить численно (например, с помощью калькулятора или программно), так как он не имеет элементарного аналитического выражения.

Ответ:
Объем тела выражается интегралом:

 V = 2 \int\limits_{2}^{\sqrt{10}} \left[ \left(5 - \dfrac{y^2}{2} \right)\sqrt{30 - 3y^2} - \dfrac{(30 - 3y^2)^{3/2}}{18} \right]\, dy 

Приблизительное численное значение можно найти по запросу.