Найти объем тела, ограниченного поверхностями z=10-x^2, y=-1, y=1, z=-1

Для того чтобы найти объём тела, ограниченного поверхностями \(z = 10 - x^2\), \(y = -1\), \(y = 1\), и \(z = -1\), мы будем использовать тройной интеграл.

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ или многомерные интегралы

Шаги решения задания:

1. Выясним границы интегрирования:
   • \(y\) изменяется от \(-1\) до \(1\).
   • \(x\) изменяется от значения, при котором \(z = -1\), до значения, при котором \(z = 10 - x^2\). Поскольку нам нужно найти пересечение этих поверхностей, приравняем: \[ 10 - x^2 = -1 \implies 10 + 1 = x^2 \implies x^2 = 11 \implies x = \pm\sqrt{11} \] Отсюда \(x\) изменяется от \(-\sqrt{11}\) до \(\sqrt{11}\).
   • \(z\) изменяется от \(-1\) до \(10 - x^2\).
2. Формируем тройной интеграл для объёма: \[ V = \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} \int_{y=-1}^{1} \int_{z=-1}^{10 - x^2} dz \, dy \, dx \]
3. Вычислим внутренний интеграл (по \(z\)): \[ \int_{-1}^{10 - x^2} dz = z \bigg|_{-1}^{10 - x^2} = (10 - x^2) - (-1) = 11 - x^2 \]
4. Вычислим средний интеграл (по \(y\)): Теперь наш двойной интеграл становится: \[ V = \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} \int_{y=-1}^{1} (11 - x^2) \, dy \, dx \] Интеграл по \(y\): \[ \int_{-1}^{1} (11 - x^2) \, dy = (11 - x^2) \cdot y \bigg|_{-1}^{1} = (11 - x^2) \cdot (1 - (-1)) = 2(11 - x^2) \]
5. Вычислим внешний интеграл (по \(x\)): Теперь наш последний интеграл становится: \[ V = \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} 2(11 - x^2) \, dx = 2 \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} (11 - x^2) \, dx \] Разделим интеграл в две части: \[ \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} 11 \, dx - \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} x^2 \, dx \] Вычислим каждый по отдельности: \[ \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} 11 \, dx = 11x \bigg|_{-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} = 11(\sqrt{11} - (-\sqrt{11})) = 11 \cdot 2\sqrt{11} = 22\sqrt{11} \] \[ \int_{x=-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-\sqrt{11}}^{\sqrt{11}} = \frac{(\sqrt{11})^3}{3} - \frac{(-\sqrt{11})^3}{3} = \frac{11\sqrt{11}}/3} - \left(-\frac{11\sqrt{11}}/{3}\right) = \frac{22\sqrt{11}}/{3} \] Теперь вернемся к нашему итоговому интегралу: \[ 2 \left( 22\sqrt{11} - \frac{22\sqrt{11}}/{3} \right) = 2 \left( \frac{66\sqrt{11}}/{3} - \frac{22\sqrt{11}}/{3} \right) = 2 \left( \frac{44\sqrt{11}}/3} \right) = \frac{88\sqrt{11}}/{3} \] Итак, объём тела равен: \[ V = \frac{88\sqrt{11}}/{3} \]