Предмет: Математика (раздел: Математический анализ, многомерные интегралы)
Задание: Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
- \( y = \sqrt{2x} \),
- \( x^2 + y^2 = 8 \),
- \( z = 0 \),
- \( y = 0 \),
- \( z = 2y \).
Шаг 1: Анализ границ тела
1.1 Разбор поверхностей:
- \( y = \sqrt{2x} \): Это уравнение, описывающее кривую в плоскости \(xOy\). Здесь \(y\) зависит от \(x\), и оно имеет вид параболы, «вытянутой» вправо. Значение \( y \geq 0 \).
- \( x^2 + y^2 = 8 \): Уравнение окружности с центром в начале координат \( (0, 0) \) и радиусом \( r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
- \( z = 0 \) и \( z = 2y \): Это плоскости, задающие нижнюю и верхнюю границы тела в пространстве. Нижняя плоскость на уровне \(z = 0\), а верхняя задаётся уравнением \(z = 2y\).
- \( y = 0 \): Ограничение на плоскости \(y\), то есть задание границы вдоль этой оси.
1.2 Обобщённое представление тела:
Мы видим, что тело ограничено снизу поверхностью
\(z = 0\) (плоскость \(xOy\)), а сверху поверхностью
\(z = 2y\). Тело также ограничено по горизонтальным осям кривой
\( y = \sqrt{2x} \) и окружностью
\( x^2 + y^2 = 8 \).
Шаг 2: Построим план решения
Нам нужно воспользоваться интегрированием для нахождения объёма тела. Само тело легче интегрировать на плоскости \(xOy\), а затем разбираться с верхней и нижней границами
\(z = 0\) и
\(z = 2y\). Объём можно вычислить с использованием двойного интеграла в декартовых координатах:
\[
V = \iint\limits_{S}\left( 2y \right)\, dx \, dy,
\]
где
\( S \) — это область на плоскости \(xOy\), и
\( 2y \) — это расстояние от поверхности \(z = 0\) до \(z = 2y\).
Шаг 3: Определение области интегрирования
Итак, разбиваем границы области
\(S\):
1. Кривая
\(y = \sqrt{2x}\) — это одна из границ. Заметим, что \(x\) может изменяться только там, где кривая существует, т.е. \(x \geq 0\).
2. Вторая граница — это окружность
\(x^2 + y^2 = 8\). Сначала определим границы интегрирования для \(y\), затем для \(x\).
Теперь найдем пределы интегрирования:
- Вдоль оси \(y\) у нас от 0 до максимального значения, которое нам даёт окружность (радиус в верхней точке), т.е.
\( y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
- Вдоль оси \(x\) мы варьируем значения в зависимости от кривой
\(y = \sqrt{2x}\), а также от окружности.
Шаг 4: Решение двойного интеграла
Определим пределы интегрирования для каждой переменной:
- \(y\) изменяется от 0 до \(2\sqrt{2}\),
- \(x\) изменяется от 0 до значений по окружности и кривой \(x = \frac{y^2}{2}\).
Переход к интегрированию в полярных координатах.