Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями

Предмет, к которому относится задание

Это "Математика" (раздел "Многомерные интегралы" или "Кратные интегралы"). Конкретная задача относится к вычислению объёма тела, ограниченного заданными поверхностями с применением кратных интегралов.

Условия:

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями:

1. \( x^2 + y^2 = 4 \) — это уравнение окружности в плоскости \( z = 0 \) с радиусом 2.
2. \( z = -2 \) — нижняя граница тела.
3. \( 2z = \sqrt{x^2 + y^2} \) (или \( z = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2} \)) — это конус, выходящий из вершины в начале координат.

Шаг 1: Переход в цилиндрическую систему координат

Для удобства используем цилиндрические координаты, где:

• \( x = r \cos{\theta} \),
• \( y = r \sin{\theta} \),
• \( z = z \).

В этих координатах:

• \( x^2 + y^2 = r^2 \),
• Уравнение окружности \( x^2 + y^2 = 4 \) преобразуется в \( r = 2 \) — это граница радиуса,
• Закон для \( z \) перепишем как \( z = \frac{r}{2} \).

Параметры цилиндрических координат:

• \( r \) — радиус от 0 до 2,
• \( \theta \) — угловая координата от \( 0 \) до \( 2\pi \),
• \( z \) изменяется от \( -2 \) до \( \frac{r}{2} \).

Шаг 2: Настройка интеграла

Объём искомого тела записывается как тройной интеграл:

\[ V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^2 \int_{z=-2}^{\frac{r}{2}} r \, dz \, dr \, d\theta \]

(Здесь \( r \) появляется в интеграле из-за якобиана цилиндрических координат).

Шаг 3: Вычисление тройного интеграла

Сначала вычислим внутренний интеграл по \( z \):

\[ \int_{-2}^{\frac{r}{2}} dz = \left[ z \right]_{-2}^{\frac{r}{2}} = \frac{r}{2} + 2 \]

Теперь вычислим следующий интеграл по \( r \):

\[ \int_{r=0}^2 r \left( \frac{r}{2} + 2 \right) dr = \int_{0}^{2} \left( \frac{r^2}{2} + 2r \right) dr \]

Разделим на два интеграла:

\[ \int_{0}^{2} \frac{r^2}{2} dr = \frac{1}{2} \cdot \frac{r^3}{3} \Big|_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \]

\[ \int_{0}^{2} 2r \, dr = 2 \cdot \frac{r^2}{2} \Big|_0^2 = 2 \cdot 2 = 4 \]

Итак, сумма:

\[ \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3} \]

Теперь вычислим окончательный интеграл по \( \theta \):

\[ \int_{0}^{2\pi} \frac{16}{3} d\theta = \frac{16}{3} \cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3} \]

Ответ:

Объём тела, ограниченного заданными поверхностями, равен:

\[ V = \frac{32\pi}{3} \]