Найти объем тела, образованного при вращении криволинейной трапеции

Условие:

Решение:

Задача, представленная на изображении, требует найти объем тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX. Криволинейная трапеция задана уравнением y = 4^x на интервале от x = -3 до x = 1. Объем такого тела можно найти с помощью формулы объема тела вращения вокруг оси OX: V = π ∫(a до b) [f(x)]^2 dx, где f(x) это уравнение кривой, вокруг которой происходит вращение, а интервал [a, b] ограничивает область вращения. В данном случае у нас есть f(x) = 4^x и интервал вращения [a, b] от -3 до 1. Теперь подставляем эти значения в формулу и интегрируем: V = π ∫(-3 до 1) (4^x)^2 dx = π ∫(-3 до 1) 16^x dx. Чтобы решить данный интеграл, применим основную формулу интегрирования степенной функции: ∫a^x dx = (a^x) / (ln(a)) + C, где C - константа интегрирования, которая в данном случае не влияет на результат, так как мы ищем определенный интеграл. Таким образом, у нас получается: V = π[(16^x) / (ln(16))] от -3 до 1. Теперь необходимо подставить пределы интегрирования: V = π[(16^1) / (ln(16)) - (16^(-3)) / (ln(16))]. Учитывая, что ln(16) = 4ln(2), мы получим: V = π[(16 - 16^(-3)) / (4ln(2))]. Вычислим численное значение объема: V = π[(16 - 1/4096) / (4ln(2))] = π[(65535/4096) / (4ln(2))] ≈ π * (65535 / (16384 * ln(2))). Это конечное выражение для объема тела вращения, которое дает приблизительное численное значение после вычисления.