Найти объем области, ограниченной кривой

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Чтобы найти объем области, ограниченной кривой (f(x) = \frac{1}{2}x(x-3)^2) и осью (Ox), нужно:

1. Определить точки пересечения функции с осью (Ox) (нулевые точки функции).
2. Вычислить определенный интеграл от функции (f(x)) между найденными пределами.

Шаг 1. Найдем точки пересечения с осью (Ox):

Функция пересекает ось (Ox), когда (f(x) = 0).
Рассмотрим уравнение:
\frac{1}{2}x(x-3)^2 = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. (x = 0);
2. ((x-3)^2 = 0 \implies x = 3).

Таким образом, точки пересечения с осью (Ox): (x = 0) и (x = 3).

Шаг 2. Вычислим определенный интеграл:

Объем области, ограниченной кривой и осью (Ox), равен модулю определенного интеграла функции (f(x)) на отрезке ([0, 3]):
\text{Объем} = \left| \int_{0}^{3} f(x) \, dx \right|.

Подставим (f(x) = \frac{1}{2}x(x-3)^2):
\int_{0}^{3} \frac{1}{2}x(x-3)^2 \, dx.

Шаг 3. Раскроем выражение (x(x-3)^2):

(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9.
Тогда:
x(x-3)^2 = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Теперь интеграл принимает вид:
\int_{0}^{3} \frac{1}{2}(x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx.

Шаг 4. Вычислим интеграл:

Рассчитаем интеграл по частям:
\int (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx = \int x^3 \, dx - 6 \int x^2 \, dx + 9 \int x \, dx.

1. ( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} );
2. ( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} );
3. ( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} ).

Подставляем:
\int (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx = \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 9 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2}.

Умножаем на (\frac{1}{2}):
\frac{1}{2} \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} \right]_{0}^{3}.

Шаг 5. Вычислим значения на концах интервала:

Подставим (x = 3):
\frac{1}{2} \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9 \cdot 3^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{81}{4} - 54 + \frac{243}{2} \right).

Приведем к общему знаменателю:
\frac{81}{4} - 54 + \frac{243}{2} = \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{486}{4} = \frac{351}{4}.

Умножаем на (\frac{1}{2}):
\frac{1}{2} \cdot \frac{351}{4} = \frac{351}{8}.

Подставим (x = 0):
\frac{1}{2} \left( \frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0^3 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} \right) = 0.

Шаг 6. Найдем объем:

\text{Объем} = \left| \frac{351}{8} - 0 \right| = \frac{351}{8} = 43.875.

Ответ:

Объем области, ограниченной кривой и осью (Ox), равен (43.875).