Найти несобственный интеграл или доказать его расходимость

Текущее задание относится к предмету математика, в частности к разделу интегрального исчисления.

Задача состоит в вычислении несобственного интеграла или доказательстве его расходимости. Несобственный интеграл задан следующим образом: \[ \int_{0}^{2} \frac{dx}{x^{2} - 4x + 3} \] После рассмотрения подынтегральной функции можно заметить, что она содержит квадратичный многочлен в знаменателе, который можно попытаться разложить на множители.

Для этого найдем корни квадратного уравнения \(x^{2} - 4x + 3 = 0\). Чтобы найти корни, используем формулу квадратного уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] где a = 1, b = -4, c = 3.

Отсюда корни x1 и x2: \[ x_{1} = 3, \quad x_{2} = 1 \] Таким образом, мы можем разложить знаменатель на множители, получаем: \[ x^{2} - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \]

Теперь интеграл принимает вид: \[ \int_{0}^{2} \frac{dx}{(x - 3)(x - 1)} \] Мы видим, что знаменатель обращается в ноль при x = 1, что и делает данный интеграл несобственным, поскольку он включает точку разрыва в интервале интегрирования.

Теперь мы должны решить, является ли данный интеграл сходящимся или расходящимся, путем вычисления предела интеграла по его области определения, исключая точку разрыва. Для этого разобьем интеграл на два интеграла через предельный процесс: \[ \int_{0}^{2} \frac{dx}{(x - 3)(x - 1)} = \lim_{a \to 1^{-}} \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x - 3)(x - 1)} + \lim_{b \to 1^{+}} \int_{b}^{2} \frac{dx}{(x - 3)(x - 1)} \]

Начнем с первого интеграла: \[ \lim_{a \to 1^{-}} \int_{0}^{a} \frac{dx}{(x - 3)(x - 1)} = \lim_{a \to 1^{-}} \int_{0}^{a} \left(\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 1}\right) dx \] Найдем коэффициенты A и B методом неопределенных коэффициентов: \[ \frac{1}{(x - 3)(x - 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 1} \] Для того чтобы найти A и B, нужно привести правую часть уравнения к общему знаменателю и сравнить коэффициенты с левой стороной уравнения:

\[ 1 = A(x - 1) + B(x - 3) \] Подставим значения x, при которых каждый из коэффициентов обратится в ноль:

1. Для A подставим x = 3: \[ 1 = A(3 - 1) = 2A \] \[ A = \frac{1}{2} \]
2. Для B подставим x = 1: \[ 1 = B(1 - 3) = -2B \] \[ B = -\frac{1}{2} \]

Теперь у нас есть разложение, и мы можем записать: \[ \int_{0}^{a} \left(\frac{1/2}{x - 3} - \frac{1/2}{x - 1}\right) dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{a} \frac{dx}{x - 3} - \frac{1}{2}\int_{0}^{a} \frac{dx}{x - 1} \]

Вычислим предел \(a\) к 1 с левой стороны: \[ \lim_{a \to 1^{-}} \left( \frac{1}{2} \ln |a - 3| - \frac{1}{2} \ln |a - 1| - \left( \frac{1}{2} \ln |-3| - \frac{1}{2} \ln |-1| \right) \right) \]

Так как мы рассматриваем левосторонний предел, \(a - 1\) будет отрицательным, что приведет к расходимости интеграла из-за логарифмической особенности при \(a\) приближающимся к 1. Таким образом, несобственный интеграл расходится и вычислять его дальше не имеет смысла.

Итоговый ответ: несобственный интеграл расходится.