Найти несобственный двойной интеграл

Этот пример относится к курсу высшей математики, раздел "Интегралы" (в частности, кратные интегралы).

Давайте решим данный несобственный двойной интеграл: \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x+y) \, dy \, dx \]

Разбием решение на несколько шагов:

1. Сначала вычислим внутренний интеграл, а затем внешний.
2. Внутренний интеграл (по \( y \)): \[ \int_{0}^{1} (x + y) \, dy \] Применяя законы интегрирования, можно разбить этот интеграл на два отдельных интеграла: \[ \int_{0}^{1} x \, dy + \int_{0}^{1} y \, dy \] Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности. Первый интеграл: \[ \int_{0}^{1} x \, dy \] Так как \( x \) является константой по отношению к \( y \), интеграл становится: \[ x \int_{0}^{1} dy = x \cdot [y]_{0}^{1} = x \cdot (1 - 0) = x \] Теперь второй интеграл: \[ \int_{0}^{1} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] Складываем результаты двух интегралов: \[ x + \frac{1}{2} \]
3. Итак, внутренний интеграл вычислен: \[ \int_{0}^{1} (x + y) \, dy = x + \frac{1}{2} \]
4. Теперь вычислим внешний интеграл (по \( x \)): \[ \int_{0}^{1} \left( x + \frac{1}{2} \right) dx \] Этот интеграл также можно разбить на два отдельных интеграла: \[ \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx \] Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первый интеграл: \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] И второй интеграл: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot (1 - 0) = \frac{1}{2} \] Сложим результаты двух интегралов: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Итак, значение двойного интеграла: \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) \, dy \, dx = 1 \]