Найти неопределённый интеграл: (sqrt(6,x)+1)/(x×sqrt(3,x)+sqrt(6,x^5))

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы

Нам нужно найти неопределённый интеграл от выражения:

 \int \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x^5}} \, dx 

Шаг 1: Упростим подынтегральное выражение

Начнём с того, что перепишем корни в виде степеней:

• \sqrt[6]{x} = x^{1/6}
• \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
• \sqrt[6]{x^5} = (x^5)^{1/6} = x^{5/6}

Подставим это в выражение:

 \int \frac{x^{1/6} + 1}{x \cdot x^{1/3} + x^{5/6}} \, dx 

Шаг 2: Упростим знаменатель

Перепишем знаменатель:

 x \cdot x^{1/3} = x^{1 + 1/3} = x^{4/3} 

Таким образом, знаменатель становится:

 x^{4/3} + x^{5/6} 

И весь интеграл теперь выглядит так:

 \int \frac{x^{1/6} + 1}{x^{4/3} + x^{5/6}} \, dx 

Шаг 3: Попробуем сделать замену переменной

Заметим, что в числителе стоит x^{1/6} и 1, а в знаменателе — степени x^{4/3} = x^{8/6} и x^{5/6}. Это наводит на мысль о замене:

Пусть:

 t = x^{1/6} \Rightarrow x = t^6 

Тогда:

 dx = \frac{d}{dt}(t^6) = 6t^5 \, dt 

Теперь выразим всё через t:

• x^{1/6} = t
• 1 = 1
• x^{4/3} = (x^{1/6})^{8} = t^8
• x^{5/6} = t^5

Подставим всё в интеграл:

 \int \frac{t + 1}{t^8 + t^5} \cdot 6t^5 \, dt 

Шаг 4: Упростим выражение

Вынесем 6 за знак интеграла:

 6 \int \frac{t + 1}{t^8 + t^5} \cdot t^5 \, dt 

Теперь перемножим числитель:

 (t + 1) \cdot t^5 = t^6 + t^5 

Получаем:

 6 \int \frac{t^6 + t^5}{t^8 + t^5} \, dt 

Шаг 5: Упростим дробь

Вынесем t^5 из знаменателя:

 t^8 + t^5 = t^5(t^3 + 1) 

Тогда:

 \frac{t^6 + t^5}{t^8 + t^5} = \frac{t^5(t + 1)}{t^5(t^3 + 1)} = \frac{t + 1}{t^3 + 1} 

Интеграл теперь:

 6 \int \frac{t + 1}{t^3 + 1} \, dt 

Шаг 6: Разложим знаменатель

 t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 - t + 1) 

Тогда:

 \frac{t + 1}{(t + 1)(t^2 - t + 1)} = \frac{1}{t^2 - t + 1} 

И интеграл становится:

 6 \int \frac{1}{t^2 - t + 1} \, dt 

Шаг 7: Интегрируем

Рассмотрим интеграл:

 \int \frac{1}{t^2 - t + 1} \, dt 

Дополнением до полного квадрата:

 t^2 - t + 1 = \left(t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} 

Тогда интеграл:

 \int \frac{1}{\left(t - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \, dt 

Это стандартный интеграл:

 \int \frac{1}{(x - a)^2 + b^2} \, dx = \frac{1}{b} \arctan\left( \frac{x - a}{b} \right) + C 

Применим:

 \int \frac{1}{t^2 - t + 1} \, dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t - 1}{\sqrt{3}} \right) + C 

Шаг 8: Возвращаемся к переменной x

Напомним, что t = x^{1/6}, тогда:

 \int \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x^5}} \, dx = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x^{1/6} - 1}{\sqrt{3}} \right) + C 

Ответ:

 \boxed{ \int \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x^5}} \, dx = \frac{12}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x^{1/6} - 1}{\sqrt{3}} \right) + C }