Найти неопределённый интеграл от функции

Задание относится к предмету математика, раздел "интегралы".

Необходимо найти неопределённый интеграл от функции. Дан интеграл: \[ \int \frac{2x \, dx}{\sqrt{5 - 4x^2}} \]

Решим его пошагово:

1. Введем подстановку \(u = 5 - 4x^2\). Тогда \(du = -8x \, dx\) или \(dx = \frac{du}{-8x}\).
2. Следовательно, \(2x \, dx\) можно переписать как: \[2x \cdot \frac{du}{-8x} = \frac{du}{-4}\]
3. Замена переменных изменит интеграл на следующий: \[ \int \frac{2x \, dx}{\sqrt{5 - 4x^2}} = \int \frac{\frac{du}{-4}}{\sqrt{u}}\]
4. Вынесем множитель \(\frac{-1}{4}\) за знак интеграла: \[ -\frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{u}} \]
5. Теперь интеграл принимает вид: \[ -\frac{1}{4} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du \]
6. Напомним правило интегрирования степенной функции: \[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \]
   Для \(n = -\frac{1}{2}\) получаем: \[ \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2u^{\frac{1}{2}} \]
7. Подставляем это выражение в наш интеграл: \[ -\frac{1}{4} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}} \]
8. Возвращаемся к исходной переменной \(u = 5 - 4x^2\): \[ -\frac{1}{2} \sqrt{5 - 4x^2} + C \]
   Где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, ответ: \[ \int \frac{2x \, dx}{\sqrt{5 - 4x^2}} = -\frac{1}{2} \sqrt{5 - 4x^2} + C \]