Найти неопределённый интеграл функции

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Необходимо найти неопределённый интеграл функции ( y = \sin^4(\tan x) ).

Запишем интеграл:
\int \sin^4(\tan x) \, dx

Решение:

1. Упростим выражение:
   Используем тригонометрическую формулу для четвёртой степени синуса:
   \sin^4 u = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2u) + \frac{1}{8} \cos(4u).

Подставим ( u = \tan x ):
\sin^4(\tan x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2 \tan x) + \frac{1}{8} \cos(4 \tan x).

Таким образом, интеграл принимает вид:
\int \sin^4(\tan x) \, dx = \int \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos(2 \tan x) + \frac{1}{8} \cos(4 \tan x) \right) dx.

2. Разделим интеграл на части:
   \int \sin^4(\tan x) \, dx = \frac{3}{8} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos(2 \tan x) \, dx + \frac{1}{8} \int \cos(4 \tan x) \, dx.

3. Рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

Первый интеграл:

\frac{3}{8} \int dx = \frac{3}{8} x.

Второй интеграл:

Для интеграла \int \cos(2 \tan x) \, dx сделаем замену:
Пусть u = \tan x, тогда du = \sec^2 x \, dx.
Подставим:
\int \cos(2 \tan x) \, dx = \int \cos(2u) \frac{du}{\sec^2 x} = \int \cos(2u) \cos^2 x \, du.

Поскольку \cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + u^2}, получаем:
\int \cos(2 \tan x) \, dx = \int \frac{\cos(2u)}{1 + u^2} \, du.

Этот интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому оставим его в таком виде.

Третий интеграл:

Аналогично, для \int \cos(4 \tan x) \, dx сделаем замену:
\int \cos(4 \tan x) \, dx = \int \frac{\cos(4u)}{1 + u^2} \, du.

Этот интеграл также не выражается через элементарные функции.

Итоговый результат:

Объединим всё:
\int \sin^4(\tan x) \, dx = \frac{3}{8} x - \frac{1}{2} \int \frac{\cos(2u)}{1 + u^2} \, du + \frac{1}{8} \int \frac{\cos(4u)}{1 + u^2} \, du + C,
где u = \tan x, а ( C ) — постоянная интегрирования.

Этот результат включает два интеграла, которые не выражаются через элементарные функции.