Найти неопределённый интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы (рациональные дроби, метод разложения на простейшие дроби)

Нам нужно найти неопределённый интеграл:

 \int \frac{10x \, dx}{(x - 1)(x^2 + 9)} 

Шаг 1: Разложим дробь на простейшие

Знаменатель: (x - 1)(x^2 + 9) — произведение линейного и квадратичного неприводимого множителя.

Разложим на простейшие дроби:

 \frac{10x}{(x - 1)(x^2 + 9)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 9} 

Умножим обе части на (x - 1)(x^2 + 9):

 10x = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x - 1) 

Раскроем скобки:

 10x = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x - 1) = A x^2 + 9A + Bx(x - 1) + C(x - 1) = A x^2 + 9A + Bx^2 - Bx + Cx - C 

Соберем подобные:

 10x = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (9A - C) 

Сравним коэффициенты с левой частью (где только 10x):

• при x^2: A + B = 0
• при x: -B + C = 10
• свободный член: 9A - C = 0

Шаг 2: Решим систему уравнений

1. A + B = 0 → B = -A
2. -B + C = 10 → -(-A) + C = 10 → A + C = 10
3. 9A - C = 0 → C = 9A

Подставим C = 9A в уравнение 2:

 A + 9A = 10 → 10A = 10 → A = 1 

Тогда:

• A = 1
• B = -1
• C = 9

Шаг 3: Подставим в разложение

 \frac{10x}{(x - 1)(x^2 + 9)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{-x + 9}{x^2 + 9} 

Теперь интегрируем:

 \int \frac{10x \, dx}{(x - 1)(x^2 + 9)} = \int \frac{1}{x - 1} dx + \int \frac{-x + 9}{x^2 + 9} dx 

Шаг 4: Интегрируем по частям

1. \int \frac{1}{x - 1} dx = \ln|x - 1|

2. Разделим второй интеграл:

 \int \frac{-x}{x^2 + 9} dx + \int \frac{9}{x^2 + 9} dx 

Первый из них:

Пусть u = x^2 + 9, тогда du = 2x dx, значит:

 \int \frac{-x}{x^2 + 9} dx = -\frac{1}{2} \ln|x^2 + 9| 

Второй:

 \int \frac{9}{x^2 + 9} dx = 9 \int \frac{1}{x^2 + 3^2} dx = 9 \cdot \frac{1}{3} \arctg\left(\frac{x}{3}\right) = 3 \arctg\left(\frac{x}{3}\right) 

Шаг 5: Соберем всё вместе

 \int \frac{10x \, dx}{(x - 1)(x^2 + 9)} = \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x^2 + 9| + 3 \arctg\left(\frac{x}{3}\right) + C 

Ответ:

Правильный вариант — номер 3:

 \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x^2 + 9| + 3 \arctg\left(\frac{x}{3}\right) + C  ✅