Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием

Предмет: Математика. Раздел: Интегральное исчисление. Задание: Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием.

\[ \int \left(6x - 3\sqrt{x} + \frac{2}{x^2}\right) \, dx \] Разобьем интеграл на сумму трех интегралов и вычислим каждый по отдельности.

1. Первое слагаемое: \(\int 6x \, dx\) Используем основное правило интегрирования степенной функции \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\): \[ \int 6x \, dx = 6 \int x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1 \]
2. Второе слагаемое: \(\int -3\sqrt{x} \, dx\) Перепишем \(\sqrt{x}\) как \(x^{1/2}\): \[ \int -3\sqrt{x} \, dx = \int -3x^{1/2} \, dx \] Используем правило интегрирования для степенной функции: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] \[ \int -3x^{1/2} \, dx = -3 \int x^{1/2} \, dx = -3 \cdot \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C_2 = -3 \cdot \frac{2x^{3/2}}{3} + C_2 = -2x^{3/2} + C_2 \]
3. Третье слагаемое: \(\int \frac{2}{x^2} \, dx\) Перепишем \(\frac{2}{x^2}\) как \(2x^{-2}\): \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = \int 2x^{-2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_3 = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = -2x^{-1} + C_3 = -\frac{2}{x} + C_3 \]

Теперь объединим все полученные результаты: \[ \int \left(6x - 3\sqrt{x} + \frac{2}{x^2}\right) \, dx = 3x^2 - 2x^{3/2} - \frac{2}{x} + C \] где \( C \) - произвольная постоянная интегрирования, полученная из суммы \(C_1, C_2\) и \(C_3\).

Теперь проверим наш результат дифференцированием. Вновь продифференцируем полученную функцию: \[ f(x) = 3x^2 - 2x^{3/2} - \frac{2}{x} + C \] Дифференцируем по \(x\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(2x^{3/2}) - \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right) \]

1. Первая производная: \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \)
2. Вторая производная: \(\frac{d}{dx}(2x^{3/2}) = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = 3\sqrt{x} \)
3. Третья производная: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right) = 2 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{2}{x^2} \)

Таким образом, \[ f'(x) = 6x - 3\sqrt{x} + \frac{2}{x^2} \] Мы получили исходную подынтегральную функцию, что подтверждает правильность вычисленного интеграла.

Ответ: \( \int \left(6x - 3\sqrt{x} + \frac{2}{x^2}\right) \, dx = 3x^2 - 2x^{3/2} - \frac{2}{x} + C \)