Найти неопределенный интеграл (2*(x^4)+8*(x^3)+x^2+x-20)/((x^4)+5*(x^2)

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы

Рассмотрим следующий неопределённый интеграл:

 \int \frac{2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20}{x^4 + 5x^2} \, dx 

Шаг 1: Упростим знаменатель

Заметим, что знаменатель можно разложить:

 x^4 + 5x^2 = x^2(x^2 + 5) 

Таким образом, перепишем интеграл:

 \int \frac{2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20}{x^2(x^2 + 5)} \, dx 

Шаг 2: Разделим числитель на знаменатель (если возможно)

Попробуем выполнить деление многочлена числителя на знаменатель. Однако, в данном случае проще воспользоваться методом разложения на простейшие дроби.

Шаг 3: Разложение на простейшие дроби

Поскольку в знаменателе произведение многочленов x^2(x^2 + 5), разложим дробь на сумму простейших:

 \frac{2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20}{x^2(x^2 + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 5} 

Умножим обе части на знаменатель x^2(x^2 + 5), чтобы избавиться от дробей:

 2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20 = A x(x^2 + 5) + B(x^2 + 5) + (Cx + D)x^2 

Раскроем скобки справа:

• A x(x^2 + 5) = A x^3 + 5A x
• B(x^2 + 5) = B x^2 + 5B
• (Cx + D)x^2 = Cx^3 + Dx^2

Сложим всё:

 A x^3 + 5A x + B x^2 + 5B + C x^3 + D x^2 = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + 5A x + 5B 

Теперь приравняем коэффициенты с левой и правой стороны:

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях:

• При x^4: слева 2, справа 0 → коэффициент при x⁴ только слева ⇒ ошибка в правой части — нужно добавить член с x⁴.

Но на правой части нет члена с x^4, а в числителе он есть. Значит, дробь неправильная, и нужно сначала выполнить деление многочленов.

Шаг 4: Деление многочлена (числителя) на знаменатель

Разделим:

 \frac{2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20}{x^4 + 5x^2} 

Разделим числитель на знаменатель:

Знаменатель: x^4 + 5x^2

Числитель: 2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20

Выполним деление:

1. 2x^4 ÷ x^4 = 2 — первый член частного.
2. Умножим знаменатель на 2: 2(x^4 + 5x^2) = 2x^4 + 10x^2
3. Вычтем:
   (2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20) - (2x^4 + 10x^2) = 8x^3 - 9x^2 + x - 20

Теперь нужно найти интеграл от:

 \int \left(2 + \frac{8x^3 - 9x^2 + x - 20}{x^4 + 5x^2} \right) dx 

Шаг 5: Разложим оставшуюся дробь на простейшие

Рассмотрим:

 \frac{8x^3 - 9x^2 + x - 20}{x^2(x^2 + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 5} 

Умножим обе части на x^2(x^2 + 5):

 8x^3 - 9x^2 + x - 20 = A x(x^2 + 5) + B(x^2 + 5) + (Cx + D)x^2 

Раскроем скобки:

• A x(x^2 + 5) = A x^3 + 5A x
• B(x^2 + 5) = B x^2 + 5B
• (Cx + D)x^2 = C x^3 + D x^2

Сложим:

 (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + 5A x + 5B 

Приравняем коэффициенты:

• x^3: A + C = 8
• x^2: B + D = -9
• x: 5A = 1 → A = \frac{1}{5}
• свободный член: 5B = -20 → B = -4

Теперь найдём C и D:

• A = \frac{1}{5} ⇒ C = 8 - A = 8 - \frac{1}{5} = \frac{39}{5}
• B = -4 ⇒ D = -9 - B = -9 + 4 = -5

Шаг 6: Подставим всё в интеграл

 \int \left(2 + \frac{1}{5x} - \frac{4}{x^2} + \frac{\frac{39}{5}x - 5}{x^2 + 5} \right) dx 

Разделим интеграл на части:

 \int 2 \, dx + \int \frac{1}{5x} \, dx - \int \frac{4}{x^2} \, dx + \int \frac{\frac{39}{5}x}{x^2 + 5} \, dx - \int \frac{5}{x^2 + 5} \, dx 

Шаг 7: Вычислим каждый интеграл

1. \int 2 \, dx = 2x
2. \int \frac{1}{5x} \, dx = \frac{1}{5} \ln|x|
3. \int \frac{4}{x^2} \, dx = -\frac{4}{x}
4. \int \frac{\frac{39}{5}x}{x^2 + 5} \, dx
   Подстановка: u = x^2 + 5, du = 2x dx
   Тогда:
   \int \frac{39}{5} \cdot \frac{x}{x^2 + 5} dx = \frac{39}{10} \ln|x^2 + 5|
5. \int \frac{5}{x^2 + 5} \, dx = \int \frac{5}{\sqrt{5}^2 + x^2} dx = \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)

Шаг 8: Финальный ответ

 \int \frac{2x^4 + 8x^3 + x^2 + x - 20}{x^4 + 5x^2} dx = 2x + \frac{1}{5} \ln|x| + \frac{39}{10} \ln|x^2 + 5| + \frac{4}{x} - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + C 

где C — произвольная постоянная интегрирования.