Найти неопределенный интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (неопределенные интегралы)

Найдем неопределенный интеграл:

 I = \int x^2 \arctg(4x) \,dx 

Решим данный интеграл методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям:

 \int u \, dv = uv - \int v \, du 

Пусть:

•  u = \arctg(4x) , тогда  du = \frac{4}{1+16x^2} dx .
•  dv = x^2 dx , тогда  v = \frac{x^3}{3} .

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

 I = \frac{x^3}{3} \arctg(4x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{4}{1+16x^2} dx 

Упростим второй интеграл:

 \int \frac{4x^3}{3(1+16x^2)} dx 

Разделим числитель:

 4x^3 = \frac{1}{4} \cdot 16x^3 = \frac{1}{4} \cdot x(16x^2) 

Тогда интеграл принимает вид:

 \int \frac{4x^3}{3(1+16x^2)} dx = \frac{4}{3} \int \frac{x(16x^2)}{1+16x^2} dx 

Пусть  t = 1+16x^2 , тогда  dt = 32x dx , значит  x dx = \frac{dt}{32} .

Подставляем замену:

 \frac{4}{3} \int \frac{x(16x^2)}{t} dx = \frac{4}{3} \int \frac{(t-1)}{t} \cdot \frac{dt}{32} 

Разделяем дробь:

 \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{32} \int \left( 1 - \frac{1}{t} \right) dt 

Интегрируем:

 \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{32} \left( t - \ln |t| \right) = \frac{4}{96} (1+16x^2 - \ln |1+16x^2|) 

 = \frac{1}{24} (1+16x^2 - \ln |1+16x^2|) 

Подставляем в исходное выражение:

 I = \frac{x^3}{3} \arctg(4x) - \frac{1}{24} (1+16x^2 - \ln |1+16x^2|) + C 

Где  C  — произвольная константа интегрирования.