Найти неопределенные интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Эти задачи относятся к курсу высшей математики, а точнее к разделу интегрального исчисления.

Решение:

\# 4 a) \(\int \frac{(x-1)dx}{x^2 + 4x - 4}\)

Сначала попробуем разложить знаменатель на множители.

1. Преобразуем квадратный трёхчлен в знаменателе: \[x^2 + 4x - 4\]

Для раскладки квадратного трёхчлена на множители, сначала находим дискриминант (\(D\)) этого квадратного уравнения: \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*1*(-4) = 16 + 16 = 32\]

Корни квадратного трёхчлена: \[x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}\]

Следовательно, \[x^2 + 4x - 4 = (x - (-2 + 2\sqrt{2}))(x - (-2 - 2\sqrt{2}))\]

2. Теперь возвращаемся к интегралу: \[\int \frac{(x-1)dx}{x^2 + 4x - 4}\]

Запишем интеграл в виде \[\int \frac{x-1}{(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))} dx\]

Используем метод разложения на простейшие дроби. Пусть: \[\frac{x-1}{(x+2-2\sqrt{2})(x+2+2\sqrt{2})} = \frac{A}{x+2-2\sqrt{2}} + \frac{B}{x+2+2\sqrt{2}}\]

Решив систему уравнений для A и B, найдем соответствующие константы и затем проинтегрируем функции более простым образом. После проведения процедур: \[\frac{1}{\sqrt{32}} \ln\left|\frac{x + 2 + 2\sqrt{2}}{x + 2 - 2\sqrt{2}}\right| + C\] где \(C\) - константа интегрирования.

\# 4 б) \(\int \frac{dx}{\sqrt{4 - 6x - x^2}}\)

Перепишем выражение под корнем: \[4 - 6x - x^2 = - (x^2 + 6x - 4)\]

Используем замену переменной чтобы преобразовать интеграл к более простому виду: \[ u = x^2 + 6x - 4\]

\[ du = (2x + 6) dx\]

Соответственно подставляем в интеграл: \[ I = \int \frac{dx}{\sqrt{-(x^2 + 6x - 4)}} = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} (где t = x^2 + 6x - 4\]

Проанализировав это: \(I = \arcsin(\frac{x-3}{\sqrt{13}}) + C\), где \(C\) - константа интегрирования