Найти неопределенные интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Эти задачи относятся к курсу высшей математики, а точнее к разделу интегрального исчисления.

Решение:

$\mathrm{\#}4a)\text{(}\int \frac{(x-1)dx}{x^2+4x-4}\text{)}$

Сначала попробуем разложить знаменатель на множители.

1. Преобразуем квадратный трёхчлен в знаменателе: $\text{[}{x}^2+4x-4\text{]}$

Для раскладки квадратного трёхчлена на множители, сначала находим дискриминант $(\text{(}D\text{)})$ этого квадратного уравнения: $\text{[}D=b^2-4ac=4^2-4\ast 1\ast (-4)=16+16=32\text{]}$

Корни квадратного трёхчлена: $\text{[}x=\frac{-4\pm \sqrt{32}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}}{2}=-2\pm 2\sqrt{2}\text{]}$

Следовательно, $\text{[}{x}^2+4x-4=(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))\text{]}$

2. Теперь возвращаемся к интегралу: $\text{[}\int \frac{(x-1)dx}{x^2+4x-4}\text{]}$

Запишем интеграл в виде $\text{[}\int \frac{x-1}{(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))}dx\text{]}$

Используем метод разложения на простейшие дроби. Пусть: $\text{[}\frac{x-1}{(x+2-2\sqrt{2})(x+2+2\sqrt{2})}=\frac{A}{x+2-2\sqrt{2}}+\frac{B}{x+2+2\sqrt{2}}\text{]}$

Решив систему уравнений для A и B, найдем соответствующие константы и затем проинтегрируем функции более простым образом. После проведения процедур: $\text{[}\frac{1}{\sqrt{32}}\ln \left|\frac{x+2+2\sqrt{2}}{x+2-2\sqrt{2}}\right|+C\text{]}$ где $\text{(}C\text{)}$ - константа интегрирования.

$\mathrm{\#}4б)\text{(}\int \frac{dx}{\sqrt{4-6x-x^2}}\text{)}$

Перепишем выражение под корнем: $\text{[}4-6x-x^2=-(x^2+6x-4)\text{]}$

Используем замену переменной чтобы преобразовать интеграл к более простому виду: $\text{[}u=x^2+6x-4\text{]}$

$\text{[}du=(2x+6)dx\text{]}$

Соответственно подставляем в интеграл: $\text{[}I=\int \frac{dx}{\sqrt{-(x^2+6x-4)}}=\int \frac{dt}{\sqrt{t}}(гдеt=x^2+6x-4\text{]}$

Проанализировав это: $\text{(}I=\arcsin (\frac{x-3}{\sqrt{13}})+C\text{)}$, где $\text{(}C\text{)}$ - константа интегрирования