Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием
Условие:
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием
Решение:
Это задание по предмету "Математика", раздел "Интегральное исчисление". Нужно найти неопределенные интегралы и проверить результаты дифференцированием.
Задание (a)
\[ \int \frac{\sin 4x \, dx}{\sqrt{4 - 5 \cos 4x}} \]Решение
1. Воспользуемся подстановкой: \[ u = 4 - 5 \cos 4x \] 2. Найдем производную \( u \) по \( x \): \[ \frac{du}{dx} = 20 \sin 4x \] 3. Перепишем дифференциал в терминах \( dx \): \[ du = 20 \sin 4x \, dx \] \[ dx = \frac{du}{20 \sin 4x} \] 4. Интеграл перепишем с учетом подстановки: \[ \int \frac{\sin 4x \, dx}{\sqrt{4 - 5 \cos 4x}} = \int \frac{\sin 4x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{20 \sin 4x} = \int \frac{du}{20 \sqrt{u}} \] 5. Интегрируем полученный интеграл: \[ \int \frac{du}{20 \sqrt{u}} = \frac{1}{20} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{20} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{10} \] 6. Возвращаемся к переменной \( x \): \[ \frac{(4 - 5 \cos 4x)^{\frac{1}{2}}}{10} + C \]Проверка дифференцированием
1. Найдем производную результата: \[ F(x) = \frac{\sqrt{4 - 5 \cos 4x}}{10} \] \[ F'(x) = \frac{\frac{d}{dx} \sqrt{4-5\cos 4x}}{10} \] 2. Применим цепное правило для производной: \[ = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} \cdot (4 - 5 \cos 4x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (- 5 \cos 4x) \] \[ = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} \cdot (4 - 5 \cos 4x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (20 \sin 4x) \] \[ = \frac{\sin 4x}{\sqrt{4 - 5 \cos 4x}} \] 3. Полученное выражение совпадает с подынтегральным выражением.Задание (b)
\[ \int \frac{(2x - 3)dx}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}} \]Решение
1. Воспользуемся подстановкой: \[ u = x^2 - 6x + 10 \] 2. Найдем производную \( u \) по \( x \): \[ \frac{du}{dx} = 2x - 6 \] 3. Перепишем дифференциал в терминах \( dx \): \[ du = (2x - 6) dx \] \[ dx = \frac{du}{2x - 6} \] 4. Интеграл перепишем с учетом подстановки: \[ \int \frac{(2x - 3)dx}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}} = \int \frac{(2x-3)du}{(2x-6)\sqrt{u}} \] \[ = \int \frac{2(x-3)+3}{(2x-6)\sqrt{u}}du = \int \frac{2 \cdot (x-3)+3}{(2x-6)\sqrt{u}}du = \int \frac{2}{2\sqrt{u}} du \] 5. Интегрируем полученный интеграл: \[ \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \ 2u \geq u^{\frac{1}{2}} + C \] 6. Возвращаемся к переменной \( x \): \[ F(x) = (x^2-6x +10)^{\frac{1}{2}} + C \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку