Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатовпроверить дифференцированием

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Дано выражение для нахождения неопределенного интеграла:

\int \frac{x \, dx}{7 + x^2}

Решение:

Для вычисления данного интеграла используем метод подстановки. Пусть:

u = 7 + x^2, \quad \frac{du}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx.

Тогда x \, dx = \frac{1}{2} \, du, и интеграл преобразуется:

\int \frac{x \, dx}{7 + x^2} = \int \frac{\frac{1}{2} \, du}{u} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}.

Интеграл от \frac{1}{u} равен натуральному логарифму:

\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C,

где C — произвольная постоянная интегрирования. Возвращаемся к переменной x:

\frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|7 + x^2| + C.

Ответ:

\int \frac{x \, dx}{7 + x^2} = \frac{1}{2} \ln|7 + x^2| + C.

Проверка дифференцированием:

Найдем производную результата:

\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \ln|7 + x^2| + C \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7 + x^2} \cdot \frac{d}{dx}(7 + x^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7 + x^2} \cdot 2x = \frac{x}{7 + x^2}.

Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, результат верен.