Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённые интегралы

Нам нужно найти неопределённый интеграл:

 \int \frac{\sin x \, dx}{2 + \cos x} 

Шаг 1: Замена переменной

Воспользуемся заменой:

 u = 2 + \cos x \Rightarrow \frac{du}{dx} = -\sin x \Rightarrow du = -\sin x \, dx 

Тогда:

 \sin x \, dx = -du 

Теперь подставим в интеграл:

 \int \frac{\sin x \, dx}{2 + \cos x} = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C 

Возвращаемся к переменной x:

 -\ln|2 + \cos x| + C 

Ответ:

 \int \frac{\sin x \, dx}{2 + \cos x} = -\ln|2 + \cos x| + C 

Проверка дифференцированием

Вычислим производную от результата:

 \frac{d}{dx} \left( -\ln|2 + \cos x| \right) = - \frac{1}{2 + \cos x} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x} 

Это совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интегрирование выполнено верно.

✅ Проверка пройдена.