Найти неопределенные интегралы 2-мя способами

Это задание относится к математике, разделу математический анализ, а именно к интегрированию функций (определенные и неопределенные интегралы). Рассмотрим оба способа интегрирования: методом замены переменной и интегрированием по частям.

Задача (а): \(\int e^{-x^2} \, dx\)

1. Метод замены переменной:

Пусть \(u = -x^2 \Rightarrow du = -2x \, dx\). Тогда выражение в интеграле становится:

\[ \int e^{-x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{-1}{2} \, du = -\frac{1}{2} \int e^u \, du. \]

Интеграл \(\int e^u \, du = e^u\), поэтому:

\[ -\frac{1}{2} \cdot \int e^u \, du = -\frac{1}{2}e^u + C = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C. \]

Ответ:

\[ \int e^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C. \]

2. Метод интегрирования по частям:

Напомним формулу:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]

Выбор частей:

• Пусть \(u = x \Rightarrow du = dx\),
• \(dv = e^{-x^2} dx \Rightarrow v = \text{(этот интеграл аналитически не выражается, поэтому метод здесь не применим напрямую)}.\)

Для этого конкретного интеграла метод интегрирования по частям не подходит, так как \(\int e^{-x^2} dx\) не имеет элементарной первообразной. Анализируем далее.

Задача (б): \(\int \arctg(2x) \, dx\)

1. Метод замены переменной:

Положим \(u = 2x \Rightarrow du = 2dx\), тогда \(dx = \frac{1}{2} \, du\). Интеграл переписывается:

\[ \int \arctg(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int \arctg(u) \, du. \]

Теперь решим этот интеграл позже другим методом или через таблицу.